Решение задач по математике онлайн

Решение неравенств (линейных, квадратных и дробных) (с подробным решением)

Это решение создано и сохранено пользователем с помощью онлайн-калькулятора:

Решение неравенств (линейных, квадратных и дробных) (с подробным решением)


Дата создания: 18.07.2013 19:43:26

Кол-во просмотров: 15300




Решить неравенство:
$$\frac{4 x^2-7 x+3}{3 x-1} \geq x-1$$
Решение:
$$\frac{4 x^2-7 x+3}{3 x-1} \geq x-1\Rightarrow $$
$$\frac{4 x^2-7 x+3- \left( x-1 \right) \left( 3 x-1 \right) }{3 x-1} \geq 0$$
Упрощение выражения \(4 x^2-7 x+3- \left( x-1 \right) \left( 3 x-1 \right) \)
$$4 x^2-7 x+3- \left( x-1 \right) \left( 3 x-1 \right) = $$
Раскрытие скобок:
$$4 x^2-7 x+3+ \left( -x+1 \right) \left( 3 x-1 \right) = $$
Раскрытие скобок:
$$4 x^2-7 x+3-3 x^2+x+3 x-1= $$
$$x^2-3 x+2$$
Ответ: \( x^2-3 x+2 \)
Решим квадратное уравнение \( x^2-3 x+2= 0 \)
Решение квадратного уравнения \( x^2-3 x+2= 0 \)

Вычислим дискриминант.
$$D = b^2-4ac = 1$$
$$x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} = \frac{3\pm\sqrt{1}}{2} = \frac{3\pm1}{2} $$
Ответ: \( x_1 = 2,\; x_2 = 1 \)
Решение по теореме Виета
Т.к. \( \left| a \right|=1 \), то можно воспользоваться теоремой Виета:
$$x^2+px+q=0 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=3 \\ x_1 \cdot x_2=2 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1=2 \\ x_2=1 \end{array}\right.$$
Ответ: \( x_1= 2,\; x_2= 1 \)
Корни квадратного уравнения:
$$ x_1 = 1 ;\; x_2 = 2 $$
Решим линейное уравнение \( 3 x-1= 0 \)
Корень линейного уравнения: \( x = \frac{1}{3}\)
Наносим найденные точки на числовую ось и вычисляем знаки на каждом интервале:
  $$ \frac{1}{3} $$ $$ 1 $$ $$ 2 $$  
Ответ:
$$ x \in \left( \frac{1}{3} ;\; 1 \right] \cup \left[ 2 ;\; +\infty \right) $$
или
$$ \frac{1}{3} < x \leq 1 ;\;\; x \geq 2 $$


  Следующее сохраненное решение >