Решение задач по математике онлайн



Калькулятор онлайн.
Векторное произведение векторов.

Этот калькулятор онлайн вычисляет векторное произведение 2-х векторов.

Онлайн калькулятор для вычисления векторного произведения векторов не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: \( -\frac{2}{3} \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: \( -1\frac{5}{7} \)

\(\vec{a} ( \) ; ; \( ) \)
\(\vec{b} ( \) ; ; \( ) \)
Вычислить векторное произведение векторов


Если вы заметили ошибку в решении, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи.
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля.


Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Определение векторного произведения векторов

Определение
Векторы \( \vec{a}, \; \vec{b} \) и \( \vec{c} \) называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Определение
Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, вторым и третьим.

Например, в записи \( ( \vec{a} ; \vec{b} ; \vec{c} ) \) вектор \( \vec{a} \) считается первым, \( \vec{b} \) - вторым, \( \vec{c} \) - третьим.

Определение
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой.

Определение
Векторным произведением вектора \( \vec{a} \) на вектор \( \vec{b} \) называется вектор \( \vec{a} \times \vec{b} \), который определяется тремя условиями:
1) длина вектора \( \vec{a} \times \vec{b} \) равна \( |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \varphi \), где \( \varphi \) - угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \)
2) вектор \( \vec{a} \times \vec{b} \) перпендикулярен каждому из векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \)
3) векторы \( \vec{a}, \;\; \vec{b}, \;\; \vec{a} \times \vec{b} \) образуют правую тройку векторов

Заметим, что условия 2 и 3 относятся к случаю, когда \( |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \varphi \neq 0 \), т.е. вектор \( \vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{0} \). Если же \( |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \varphi = 0 \), то векторное произведение определяется только условием 1: в этом случае \( \vec{a} \times \vec{b} = 0 \)

Основные свойства векторного произведения векторов

1. Если \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) - коллинеарные векторы, то \( \vec{a} \times \vec{b} = 0 \)

2. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

3. \( \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a} \) свойство антиперестановочности сомножителей

4. \( ( \alpha \vec{a} ) \times \vec{b} = \alpha ( \vec{b} \times \vec{a} ) \) свойство сочетательности по отношению к скалярному произведению

5. \( ( \vec{a}+\vec{b} ) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \) свойство распределительности относительно суммы векторов.

Выражение векторного произведения через координаты векторов

Теорема
Если векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) заданы своими координатами: \( \vec{a} \left( a_x; a_y; a_z \right), \;\; \vec{b} \left( b_x; b_y; b_z \right) \), то векторное произведение векторов вычисляется по формуле:
\( \vec{a} \times \vec{b} = \left( a_y b_z - b_y a_z \; ; \; a_z b_x - b_z a_x \; ; \; a_x b_y - b_x a_y \right) \)
Эту формулу с помощью определителей второго порядка можно записать в виде
\( \vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix} \; ; \; \begin{vmatrix} a_z & a_x \\ b_z & b_x \end{vmatrix} \; ; \; \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix} \right) \)