Решение задач по математике онлайн



Калькулятор онлайн.
Смешанное произведение векторов.

Этот калькулятор онлайн вычисляет смешанное произведение 3-х векторов.

Онлайн калькулятор для вычисления смешанного произведения векторов не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: \( -\frac{2}{3} \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: \( -1\frac{5}{7} \)

\(\vec{a} ( \) ; ; \( ) \)
\(\vec{b} ( \) ; ; \( ) \)
\(\vec{c} ( \) ; ; \( ) \)
Вычислить смешанное произведение векторов


Если вы заметили ошибку в решении, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи.
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля.

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Определение и геометрический смысл смешанного произведения векторов

Определение
Смешанным произведением трех векторов \( \vec{a}, \; \vec{b}, \; \vec{c} \) называется число, равное скалярному произведению вектора \( \vec{a} \) на векторное произведение векторов \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \), т.е.
\( \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c} ) \)

Следующая теорема выражает геометрический смысл смешанного произведения векторов.

Теорема
Смешанное произведение \( \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c} ) \) равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах \( \vec{a}, \; \vec{b}, \; \vec{c} \) взятому со знаком "+", если тройка \( \vec{a}, \; \vec{b}, \; \vec{c} \) - правая, со знаком "-", если тройка \( \vec{a}, \; \vec{b}, \; \vec{c} \) - левая. Если же \( \vec{a}, \; \vec{b}, \; \vec{c} \) компланарны, то \( \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c} ) = 0 \). Другими словами:

$$ \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c} ) = \left\{ \begin{array}{r l} v, & если \;\; \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \;\; \text{правая тройка} \\ -v, & если \;\;\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \;\; \text{левая тройка} \\ 0, & если \;\;\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \;\; компланарны \end{array} \right. $$

Следствие
Из теоремы легко выводится следующее тождество:
\( \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c} ) = ( \vec{a} \times \vec{b} ) \cdot \vec{c} \)
т.е. знаки \( \cdot \) и \( \times \) в смешанном произведении векторов можно менять местами.
В силу этого тождества смешанные произведения \( \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c} ) \) и \( ( \vec{a} \times \vec{b} ) \cdot \vec{c} \) можно обозначать более простым символом \( \vec{a} \vec{b} \vec{c} \)

Выражение смешанного произведения через координаты векторов

Теорема
Если векторы \( \vec{a}, \; \vec{b}, \; \vec{c} \) заданы своими координатами \( \vec{a} \left( a_x; a_y; a_z \right), \; \)\( \vec{b} \left( b_x; b_y; b_z \right), \; \)\( \vec{c} \left( c_x; c_y; c_z \right) \) то смешанное произведение \( \vec{a} \vec{b} \vec{c} \) вычисляется по формуле:
\( \vec{a} \vec{b} \vec{c} = a_x \begin{vmatrix} b_y & b_z \\ c_y & c_z \end{vmatrix} + a_y \begin{vmatrix} b_z & b_x \\ c_z & c_x \end{vmatrix} + a_z \begin{vmatrix} b_x & b_y \\ c_x & c_y \end{vmatrix} \)
или
\( \vec{a} \vec{b} \vec{c} = a_x( b_y c_z - c_y b_z) + a_y ( b_z c_x - c_z b_x) + a_z( b_x c_y - c_x b_y) \)