Решение задач по математике онлайн



Калькулятор онлайн.
Вычисление площади треугольника построенного на векторах.

Этот калькулятор онлайн вычисляет площадь треугольника построенного на векторах. Треугольник может быть задан координатами двух векторов или координатами трех вершин треугольника.

Онлайн калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: \( -\frac{2}{3} \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: \( -1\frac{5}{7} \)


\(\vec{a} ( \) ; ; \( ) \)
\(\vec{b} ( \) ; ; \( ) \)
Вычислить площадь треугольника


Если вы заметили ошибку в решении, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи.
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля.

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Определение векторного произведения векторов

Определение
Векторы \( \vec{a}, \; \vec{b} \) и \( \vec{c} \) называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Определение
Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, вторым и третьим.

Например, в записи \( ( \vec{a} ; \vec{b} ; \vec{c} ) \) вектор \( \vec{a} \) считается первым, \( \vec{b} \) - вторым, \( \vec{c} \) - третьим.

Определение
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой.

Определение
Векторным произведением вектора \( \vec{a} \) на вектор \( \vec{b} \) называется вектор \( \vec{a} \times \vec{b} \), который определяется тремя условиями:
1) длина вектора \( \vec{a} \times \vec{b} \) равна \( |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \varphi \), где \( \varphi \) - угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \)
2) вектор \( \vec{a} \times \vec{b} \) перпендикулярен каждому из векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \)
3) векторы \( \vec{a}, \;\; \vec{b}, \;\; \vec{a} \times \vec{b} \) образуют правую тройку векторов

Заметим, что условия 2 и 3 относятся к случаю, когда \( |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \varphi \neq 0 \), т.е. вектор \( \vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{0} \). Если же \( |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \varphi = 0 \), то векторное произведение определяется только условием 1: в этом случае \( \vec{a} \times \vec{b} = 0 \)

Основные свойства векторного произведения векторов

1. Если \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) - коллинеарные векторы, то \( \vec{a} \times \vec{b} = 0 \)

2. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

3. \( \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a} \) свойство антиперестановочности сомножителей

4. \( ( \alpha \vec{a} ) \times \vec{b} = \alpha ( \vec{b} \times \vec{a} ) \) свойство сочетательности по отношению к скалярному произведению

5. \( ( \vec{a}+\vec{b} ) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} \) свойство распределительности относительно суммы векторов.

Выражение векторного произведения через координаты векторов

Теорема
Если векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) заданы своими координатами: \( \vec{a} \left( a_x; a_y; a_z \right), \;\; \vec{b} \left( b_x; b_y; b_z \right) \), то векторное произведение векторов вычисляется по формуле:
\( \vec{a} \times \vec{b} = \left( a_y b_z - b_y a_z \; ; \; a_z b_x - b_z a_x \; ; \; a_x b_y - b_x a_y \right) \)
Эту формулу с помощью определителей второго порядка можно записать в виде
\( \vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix} \; ; \; \begin{vmatrix} a_z & a_x \\ b_z & b_x \end{vmatrix} \; ; \; \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix} \right) \)