Решение задач по математике онлайн


Калькулятор онлайн.
Решение треугольников.

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.

Эта математическая программа находит углы \( \alpha, \beta \) и \( \gamma \) по заданным пользователем сторонам \( a, b \) и \( c \)

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел
Числа можно задать не только целые, но и дробные.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5

Введите стороны a, b и c
a=
b=
c=
Решить треугольник


Немного теории.

Теорема синусов

Теорема
Пусть в треугольнике ABC AB = c, ВС = а, СА = b. Тогда
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$

Теорема косинусов

Теорема
Пусть в треугольнике ABC AB = c, ВС = а, СА = b. Тогда
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Решение треугольников

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.

Рассмотрим три задачи на решение треугольника. При этом будем пользоваться такими обозначениями для сторон треугольника ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Дано: \( a, b, \angle C \). Найти \( c, \angle A, \angle B \)

Решение
1. По теореме косинусов находим \(c\):

$$ c = \sqrt{ a^2+b^2-2ab \cos C } $$
2. Пользуясь теоремой косинусов, имеем:
$$ \cos A = \frac{ b^2+c^2-a^2 }{2bc} $$
По \( \cos A \) находим \( \angle A \) с помощью микрокалькулятора или по таблице.

3. \( \angle B = 180^\circ -\angle A -\angle C \)

Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

Дано: \( a, \angle B, \angle C \). Найти \( \angle A, b, c \)

Решение
1. \( \angle A = 180^\circ -\angle B -\angle C \)

2. С помощью теоремы синусов вычисляем b и c:
$$ b = a \frac{\sin B}{\sin A}, \quad c = a \frac{\sin C}{\sin A} $$

Решение треугольника по трём сторонам

Дано: \( a, b, c \). Найти \( \angle A, \angle B, \angle C \)

Решение
1. По теореме косинусов получаем:
$$ \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$

По \( \cos A \) находим \( \angle A \) с помощью микрокалькулятора или по таблице.

2. Аналогично находим угол B.
3. \( \angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

Решение треугольника по двум сторонам и углу напротив известной стороны

Дано: \( a, b, \angle A \). Найти \( c, \angle B, \angle C \)

Решение
1. По теореме синусов находим \( \sin B \) получаем:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{b}{a} \cdot \sin A $$

Введём обозначение: \( D = \frac{b}{a} \cdot \sin A \). В зависимости от числа D возможны случаи:
Если D > 1, такого треугольника не существует, т.к. \( \sin B \) больше 1 быть не может
Если D = 1, существует единственный \( \angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Если D < 1 и a < b, то \( \angle B \) имеет два возможных значения: острый \( \angle B = \arcsin D \) и тупой \( \angle B' = 180^\circ - \angle B \)
Если D < 1 и \( a \geq b\), то \( \angle A \geq \angle B \) (против большей стороны лежит больший угол). Т.к. в треугольнике не может быть двух тупых углов, тупой угол для \( \angle B \) исключён, и угол \( \angle B = \arcsin D \) единственный.

2. \( \angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

3. С помощью теоремы синусов вычисляем сторону c:
$$ c = a \frac{\sin C}{\sin A} $$