Задача на нахождение уравнения прямой касательной к графику функции в заданной точке.
Описание.

Правила ввода функций

Знаки операций:
+ - сложение,
- - вычитание,
* - умножение,
/ - деление,
^ - возведение в степень.

Знак умножения нужно вводить только между числами, во всех остальных случаях его можно не вводить.

Список функций:

Функция	Описание	Пример ввода	Результат ввода
pi	Число $\pi$	pi	$$ \pi $$
e	Число $e$	e	$$ e $$
e^x	Степень числа $e$	e^(2x)	$$ e^{2x} $$
exp(x)	Степень числа $e$	exp(1/3)	$$ \sqrt[3]{e} $$
\|x\| abs(x)	Модуль (абсолютное значение) числа $x$	\|x-1\| abs(cos(x))	$ \|x-1\| $ $ \|\cos(x)\| $
sin(x)	Синус	sin(x-1)	$$ sin(x-1) $$
cos(x)	Косинус	1/(cos(x))^2	$$ \frac{1}{cos^2(x)} $$
tg(x)	Тангенс	x*tg(x)	$$ x \cdot tg(x) $$
ctg(x)	Котангенс	3ctg(1/x)	$$ 3 ctg \left( \frac{1}{x} \right) $$
arcsin(x)	Арксинус	arcsin(x)	$$ arcsin(x) $$
arccos(x)	Арккосинус	arccos(x)	$$ arccos(x) $$
arctg(x)	Арктангенс	arctg(x)	$$ arctg(x) $$
arcctg(x)	Арккотангенс	arcctg(x)	$$ arcctg(x) $$
sqrt(x)	Квадратный корень	sqrt(1/x)	$$ \sqrt{\frac{1}{x}} $$
root(n,x)	Корень степени n root(2,x) эквивалентно sqrt(x)	root(4,exp(x))	$$ \sqrt[4]{ e^{x} } $$
x^(1/n)	Корень степени n x^(1/2) эквивалентно sqrt(x)	(cos(x))^(1/3)	$$ \sqrt[\Large 3 \normalsize]{cos(x)} $$
ln(x) log(x) log(e,x)	Натуральный логарифм (основание - число e)	1/ln(3-x)	$$ \frac{1}{ln(3-x)} $$
log(10,x)	Десятичный логарифм числа x	log(10,x^2+x)	$$ log_{10}(x^2+x) $$
log(a,x)	Логарифм x по основанию a	log(3,cos(x))	$$ log_3(cos(x)) $$
sh(x)	Гиперболический синус	sh(x-1)	$$ sh(x-1) $$
ch(x)	Гиперболический косинус	ch(x)	$$ ch(x) $$
th(x)	Гиперболический тангенс	th(x)	$$ th(x) $$
cth(x)	Гиперболический котангенс	cth(x)	$$ cth(x) $$

Почему решение на английском языке?

При решении этой задачи используется большой и дорогой модуль одного "забугорного" сервиса. Решение он выдает в виде изображения и только на английском языке. Изменить это, к сожалению, нельзя. Ничего лучше мы найти не смогли. Зато он выводит подробное и очень качественное решение в том виде в котором оно принято в высших учебных заведениях. Единственное неудобство - на английском языке, но это не большая цена за качество.

Некоторые пояснения по выводу решения.

Вывод	Перевод, пояснение
Find the tangent line equation	Найти уравнение касательной
Compute the derivative of y(x), which will be used to find the slope of the tangent line	Вычислим производную y(x), которая будет использоваться для нахождения наклона касательной
Compute the slope of the tangent line by substituting x₀ into y'(x)	Вычислим наклон касательной, подставив x₀ в y'(x)
Evaluate y(x₀) in order to find the y-value at the point of tangency	Вычислим y(x₀), чтобы найти значение y в точке касания
Answer	Ответ
$log(x)$	Натуральный логарифм, основание - число e. У нас пишут $ln(x)$
$arccos(x)$ или $cos^{-1}(x)$	Арккосинус. У нас пишут $ arccos(x) $
$arcsin(x)$ или $sin^{-1}(x)$	Арксинус. У нас пишут $ arcsin(x) $
$tan(x)$	Тангенс. У нас пишут $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$
$arctan(x)$ или $tan^{-1}(x)$	Арктангенс. У нас пишут $arctg(x)$
$cot(x)$	Котангенс. У нас пишут $ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$
$arccot(x)$ или $cot^{-1}(x)$	Арккотангенс. У нас пишут $arcctg(x)$
$sec(x)$	Секанс. У нас пишут также $sec(x) = \frac{1}{cos(x)}$
$csc(x)$	Косеканс. У нас пишут $cosec(x) = \frac{1}{sin(x)}$
$cosh(x)$	Гиперболический косинус. У нас пишут $ch(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2} $
$sinh(x)$	Гиперболический синус. У нас пишут $sh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2} $
$tanh(x)$	Гиперболический тангенс. У нас пишут $th(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} $
$coth(x)$	Гиперболический котангенс. У нас пишут $cth(x) = \frac{1}{th(x)} $

Если вам что-то осталось не понятно обязательно напишите об этом в Обратной связи и мы дополним эту таблицу.

<< Назад (к нахождению касательной)

Примеры подробного нахождения уравнения прямой касательной к графику функции в заданной точке

Пример №1

Найти уравнение касательной к графику функции

$ f(x) = (x^2-1)(x^4+2) $ в точке $ x_0=2 $

Интерпретация ввода:

Уравнение касательной к графику функции $ f(x) $ в точке $ x_0 $ задаётся уравнением:
$$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$

Таким образом при решении нужно найти:
1) произвоздную функции : $ f'(x) $
2) значение произвоздной в точке $ x_0 $ : $ f'(x_0) $
3) значение функции в точке $ x_0 $ : $ f(x_0) $
4) подставить найденные числа в уравнение касательной

Решение

Пример №2