Решение задач по математике онлайн

Решение систем неравенств: линейные, квадратные и дробные. Описание.

<< Назад (к решению системы неравенств)

Какие неравенства могут быть в системе?

Эта математическая программа решает системы неравенств со следующими типами неравенств.

Линейные
Неравенства сводящиеся к виду: \( ax+b > 0 \) (знак сравнения любой).
Например:

\( 2x-5 \leq 0 ; \)
\( 2x-5 > 4-5x ; \)
\( 2(x-5)+1 > 4-5x ; \)
и даже такое \( 2x^2-5x+7 \geq 2x^2-6x \)

Квадратные
Неравенства сводящиеся к виду: \( ax^2+bx+c > 0 \) (знак сравнения любой).
Например:

\( 2x^2+4x-5 < 0 ; \)
\( 6x-1 > x^2-x ; \)
\( (x-2)^2+1 \leq 3x-5; \)
и такое тоже \( -4x^3-5x+7 \geq -4x^3+x^2-6x+1 \)

Дробные
Неравенства сводящиеся к виду: \( \frac{a_1x^2+b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2} > 0 \) (знак сравнения любой).
Коэффициенты \( a_1 \) и \( a_2 \) могут быть нулевыми, т.е. и в числителе и в знаменателе дроби может быть и линейный и квадратный многочлен.
Например:

$$ \frac{-x^2+2x-3}{4x+1} > -3x-1 ; $$
$$ \frac{5}{4(x+1)(x-3)-x+6} < 2x-5 ; $$
$$ \frac{4x^2-2}{1-x-3x^2} < 2 ; $$
и т.д.

<< Назад (к решению системы неравенств)

Пример подробного решения


Решить систему неравенств:
$$\left\{\begin{array}{l} 3t^{2}-4t+5 \geq \left(t-2\right)^{2}+5\left(t+1\right) \\ \frac{t-0,5}{t+2} \leq 2t+0,6 \end{array}\right.$$
Решение:
Нужно решить каждое неравенство системы в отдельности, а затем найти пересечение их решений.
Решим первое неравенство системы.
Решение первого неравенства системы
Упрощение многочлена в правой части
$$5\left(t+1\right)+\left(t-2\right)^{2}= $$
Возведение в степень:
$$5\left(t+1\right)+t^{2}-4t+4= $$
Раскрытие скобок:
$$5t+5+t^{2}-4t+4=$$
$$t+9+t^{2}=$$
$$t^{2}+t+9$$
Ответ: \( t^{2}+t+9 \)
$$3t^{2}-4t+5 \geq t^{2}+t+9 \Rightarrow $$
$$3t^{2}-4t+5-t^{2}-t-9 \geq 0 \Rightarrow $$
$$2t^{2}-5t-4 \geq 0$$
Решим квадратное уравнение \(2t^{2}-5t-4= 0 \)
Решение квадратного уравнения \(2t^{2}-5t-4= 0 \)
Вычислим дискриминант.
$$D = b^2-4ac = 57$$
$$t_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} = \frac{5\pm\sqrt{57}}{4} = \frac{5\pm\sqrt{57}}{4} $$
Ответ: $$ t_1 = \frac{5+\sqrt{57}}{4},\quad t_2 = \frac{5-\sqrt{57}}{4} $$
Корни квадратного уравнения:
$$ t_1 = \frac{5-\sqrt{57}}{4} ;\; t_2 = \frac{5+\sqrt{57}}{4} $$
Наносим найденные точки на числовую ось и вычисляем знаки на каждом интервале:
t
  $$ \frac{5-\sqrt{57}}{4} $$ $$ \frac{5+\sqrt{57}}{4} $$  
Ответ:
$$ t \in \left( -\infty ;\; \frac{5-\sqrt{57}}{4} \right] \cup \left[ \frac{5+\sqrt{57}}{4} ;\; +\infty \right) $$
или
$$ t \leq \frac{5-\sqrt{57}}{4} ;\;\; t \geq \frac{5+\sqrt{57}}{4} $$
Из первого неравенства находим:
$$ t \in \left( -\infty ;\; \frac{5-\sqrt{57}}{4} \right] \cup \left[ \frac{5+\sqrt{57}}{4} ;\; +\infty \right) $$
или
$$ t \leq \frac{5-\sqrt{57}}{4} ;\;\; t \geq \frac{5+\sqrt{57}}{4} $$
Решим второе неравенство системы.
Решение второго неравенства системы
$$\frac{t-0,5}{t+2} \leq 2t+0,6\Rightarrow $$
$$\frac{t-0,5-\left(2t+0,6\right)\left(t+2\right)}{t+2} \leq 0$$
Упрощение выражения \(t-0,5-\left(2t+0,6\right)\left(t+2\right)\)
$$t-0,5-\left(2t+0,6\right)\left(t+2\right)= $$
Раскрытие скобок:
$$t-0,5+\left(-2t-0,6\right)\left(t+2\right)= $$
Раскрытие скобок:
$$t-0,5-2t^{2}-4t-0,6t-1,2=$$
$$-3,6t-1,7-2t^{2}=$$
$$-2t^{2}-3,6t-1,7$$
Ответ: \( -2t^{2}-3,6t-1,7 \)
$$\frac{-2t^{2}-3,6t-1,7}{t+2} \leq 0 $$
Решим квадратное уравнение \( -2t^{2}-3,6t-1,7= 0 \)
Решение квадратного уравнения \( -2t^{2}-3,6t-1,7= 0 \)
Умножим обе части уравнения на число 10. Корни уравнения при этом не изменятся.
$$-20t^2-36t-17=0$$
Вычислим дискриминант.
$$D = b^2-4ac = -64$$
Ответ: корней нет, т.к. \( D<0 \)
Корней нет, следовательно \( -2t^{2}-3,6t-1,7 < 0 \) для любых \( t \)
Решим линейное уравнение \( t+2= 0 \)
Корень линейного уравнения: \( t = -2\)
Наносим найденные точки на числовую ось и вычисляем знаки на каждом интервале:
t
  $$ -2 $$  
Ответ:
$$ t \in \left( -2 ;\; +\infty \right) $$
или
$$ t > -2 $$
Из второго неравенства находим:
$$ t \in \left( -2 ;\; +\infty \right) $$
или
$$ t > -2 $$
Наносим найденные точки на числовую ось и вычисляем знаки на каждом интервале:
t
  $$ -2 $$ $$ \frac{5-\sqrt{57}}{4} $$ $$ \frac{5+\sqrt{57}}{4} $$  
Ответ:
$$ t \in \left( -2 ;\; \frac{5-\sqrt{57}}{4} \right] \cup \left[ \frac{5+\sqrt{57}}{4} ;\; +\infty \right) $$
или
$$ -2 < t \leq \frac{5-\sqrt{57}}{4} ;\;\; t \geq \frac{5+\sqrt{57}}{4} $$
<< Назад (к решению системы неравенств)