Решение задач по математике онлайн


Калькулятор онлайн.
Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена.

Эта математическая программа выделяет квадрат двучлена из квадратного трехчлена, т.е. делает преобразование вида:
\( ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \)
и раскладывает на множители квадратный трехчлен:
\( ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Т.е. задачи сводятся к нахождению чисел \( p, q \) и \( n, m \)

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного трехчлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода квадратного трехчлена
В качестве переменной можно использовать только x
Все остальные буквы недопустимы.

При вводе можно использовать только целые числа.
Если вам нужно использовать, например, такой трехчлен 0,6x^2+0,8x-7,8, то умножьте все коэффициенты на 10 (корни уравнения не изменятся) и введите новый квадратный многочлен:
=0

Пример подробного решения
Выделение квадрата двучлена.
$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$
$$2x^2+2x-4 = $$
$$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac{1}{2} \right)\cdot x+2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} = $$
$$2\left( x^2 + 2 \cdot\left( \frac{1}{2} \right)\cdot x + \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right)-\frac{9}{2} = $$
$$2\left( x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$
Ответ: $$2x^2+2x-4 = 2\left( x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$
Разложение на множители.
$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$
$$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left( x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left( x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$
$$ 2 \left( x \left( x +2 \right) -1 \left( x +2 \right) \right) = $$
$$ 2 \left( x -1 \right) \left( x +2 \right) $$
Ответ: $$2x^2+2x-4 = 2 \left( x -1 \right) \left( x +2 \right) $$

Решить


Немного теории.

Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена

Если квадратный трехчлен aх2+bx+c представлен в виде a(х+p)2+q, где p и q — действительные числа, то говорят, что из квадратного трехчлена выделен квадрат двучлена.

Покажем на примере как это преобразование делается.

Выделим из трехчлена 2x2+12x+14 квадрат двучлена.

Вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:
\( 2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Преобразуем выражение в скобках.
Для этого представим 6х в виде произведения 2*3*х, а затем прибавим и вычтем 32. Получим:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Т.о. мы выделили квадрат двучлена из квадратного трехчлена, и показоли, что:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Разложение на множители квадратного трехчлена

Если квадратный трехчлен aх2+bx+c представлен в виде a(х+n)(x+m), где n и m — действительные числа, то говорят, что выполнена операция разложения на множители квадратного трехчлена.

Покажем на примере как это преобразование делается.

Разложим квадратный трехчлен 2x2+4x-6 на множители.

Вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:
\( 2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Преобразуем выражение в скобках.
Для этого представим 2х в виде разности 3x-1x, а -3 в виде -1*3. Получим:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3 ) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3) ) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Т.о. мы разложили на множители квадратный трехчлен, и показоли, что:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Заметим, что разложение на множители квадратного трехчлена возможно только тогда, когда, квадратное уравнение, соответсвующее этому трехчлену имеет корни.
Т.е. в нашем случае разложить на множители трехчлен 2x2+4x-6 возможно, если квадратное уравнение 2x2+4x-6 =0 имеет корни. В процессе разложения на множители мы установили, что уравнение 2x2+4x-6 =0 имеет два корня 1 и -3, т.к. при этих значениях уравнение 2(x-1)(x+3)=0 обращается в верное равенство.