Решение задач по математике онлайн



Калькулятор онлайн.
Решение уравнений и неравенств с модулями.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить уравнение или неравенство с модулями. Программа для решения уравнений и неравенств с модулями не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию и общие методы решения уравнений и неравенств с модулями.

Примеры подробного решения >>

|x| или abs(x) - модуль x

Введите уравнение или неравенство с модулями
Решить уравнение или неравенство


Если вы заметили ошибку в решении, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи.
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля.

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Уравнения и неравенства с модулями

В курсе алгебры основной школы могут встретится простейшие уравнения и неравенства с модулями. Для их решения можно применять геометрический метод, основанный на том, что \( |x-a| \) - это расстояние на числовой прямой между точками x и a: \( |x-a| = \rho (x;\; a) \). Например, для решения уравнения \( |x-3|=2 \) нужно найти на числовой прямой точки, удалённые от точки 3 на расстояние 2. Таких точек две: \( x_1=1 \) и \( x_2=5 \).

Решая неравенство \( |2x+7| < 9 \), сначала преобразуем его к виду \( |x+3{,}5| < 4{,}5 \), а далее рассуждаем так: нужно найти на числовой прямой точки x, которые удалены от точки –3,5 на расстояние, меньшее 4,5. Все такие точки заполняют интервал (–8; 1).

Но основной способ решения уравнений и неравенств с модулями связан с так называемым «раскрытием модуля по определению»:
если \( a \geq 0 \), то \( |a|=a \);
если \( a<0 \), то \( |a|=-a \).
Как правило, уравнение (неравенство) с модулями сводится к совокупности уравнений (неравенств), не содержащих знак модуля.

Кроме указанного определения, используются следующие утверждения:
1) Если \( c > 0 \), то уравнение \( |f(x)|=c \) равносильно совокупности уравнений: \( \left[\begin{array}{l} f(x)=c \\ f(x)=-c \end{array}\right. \)
2) Если \( c > 0 \), то неравенство \( |f(x)| < c \) равносильно двойному неравенству \( -c< f(x) < c \).
3) Если \( c \geq 0 \), то неравенство \( |f(x)| > c \) равносильно совокупности неравенств: \( \left[\begin{array}{l} f(x) < -c \\ f(x) > c \end{array}\right. \)
4) Если обе части неравенства \( f(x) < g(x) \) принимают только неотрицательные значения, то оно равносильно неравенству \( (f(x))^2 < (g(x))^2 \).

ПРИМЕР 1. Решить уравнение \( x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).

Если \( x-1 \geq 0 \), то \( |x-1| = x-1 \) и заданное уравнение принимает вид
\( x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Если же \( x-1 < 0 \), то \( |x-1| = -(x-1) \) и заданное уравнение принимает вид
\( x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Таким образом, заданное уравнение следует рассмотреть по отдельности в каждом из двух указанных случаев.
1) Пусть \( x-1 \geq 0 \), т.е. \( x \geq 1 \). Из уравнения \( x^2 +2x -8 = 0 \) находим \(x_1=2, \; x_2=-4\). Условию \( x \geq 1 \) удовлетворяет лишь значение \(x_1=2\).
2) Пусть \( x-1 < 0 \), т.е. \( x < 1 \). Из уравнения \( x^2 -2x -4 = 0 \) находим \(x_3=1+\sqrt{5}, \; x_4=1-\sqrt{5} \). Условию \( x < 1 \) удовлетворяет лишь значение \( x_4=1-\sqrt{5} \).
Ответ: \( 2; \;\; 1-\sqrt{5} \)

ПРИМЕР 2. Решить уравнение \( |x^2-6x+7| = \frac{5x-9}{3} \).

Первый способ (раскрытие модуля по определению).
Рассуждая, как в примере 1, приходим к выводу, что заданное уравнение нужно рассмотреть по отдельности при выполнении двух условий: \( x^2-6x+7 \geq 0 \) или \( x^2-6x+7 < 0 \).

1) Если \( x^2-6x+7 \geq 0 \), то \( |x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) и заданное уравнение принимает вид \( x^2-6x+7 = \frac{5x-9}{3} \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Решив это квадратное уравнение, получим: \(x_1=6, \; x_2=\frac{5}{3} \).
Выясним, удовлетворяет ли значение \( x_1=6 \) условию \( x^2-6x+7 \geq 0 \). Для этого подставим указанное значение в квадратное неравенство. Получим: \( 6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), т.е. \( 7 \geq 0 \) — верное неравенство. Значит, \( x_1=6 \) — корень заданного уравнения.
Выясним, удовлетворяет ли значение \(x_2=\frac{5}{3} \) условию \( x^2-6x+7 \geq 0 \). Для этого подставим указанное значение в квадратное неравенство. Получим: \( \left( \frac{5}{3} \right)^2 -\frac{5}{3} \cdot 6 + 7 \geq 0 \), т.е. \( \frac{25}{9} -3 \geq 0 \) — неверное неравенство. Значит, \(x_2=\frac{5}{3} \) не является корнем заданного уравнения.

2) Если \( x^2-6x+7 < 0 \), то \( |x^2-6x+7| = -(x^2-6x+7) \) и заданное уравнение принимает вид \( -(x^2-6x+7) = \frac{5x-9}{3} \Rightarrow 3x^2-13x+12=0 \). Решив это квадратное уравнение, получим: \(x_3=3, \; x_4=\frac{4}{3} \).
Значение \(x_3=3\) удовлетворяет условию \( x^2-6x+7 < 0 \). Значит, \(x_3=3\) — корень заданного уравнения.
Значение \(x_4=\frac{4}{3} \) не удовлетворяет условию \( x^2-6x+7 < 0 \). Значит, \(x_4=\frac{4}{3} \) — не является корнем заданного уравнения.
Итак, заданное уравнение имеет два корня: \(x=6, \; x=3 \).

Второй способ. Если дано уравнение \( |f(x)| = h(x) \), то при \( h(x) < 0 \) оно не имеет решений, а при \( h(x) \geq 0 \) надо рассмотреть два случая: \( f(x) = h(x); \; f(x) = -h(x) \) (совокупность уравнений). Для заданного уравнения потребуем выполнения условия \( \frac{5x-9}{3} \geq 0 \) и рассмотрим совокупность уравнений:
\( \left[\begin{array}{l} x^2-6x+7 = \frac{5x-9}{3} \\ x^2-6x+7 = -\frac{5x-9}{3} \end{array}\right. \)
Оба эти уравнения решены выше (при первом способе решения заданного уравнения), их корни таковы: \(6,\; \frac{5}{3},\; 3,\; \frac{4}{3} \). Условию \( \frac{5x-9}{3} \geq 0 \) из этих четырёх значений удовлетворяют лишь два: 6 и 3. Значит, заданное уравнение имеет два корня: \(x=6, \; x=3 \).

Третий способ (графический).
1) Построим график функции \( y = |x^2-6x+7| \). Сначала построим параболу \( y = x^2-6x+7 \). Имеем \( x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). График функции \( y = (x-3)^2-2 \) можно получить из графика функции \( y = x^2 \) сдвигом его на 3 единицы масштаба вправо (по оси x) и на 2 единицы масштаба вниз (по оси y). Прямая x=3 — ось интересующей нас параболы. В качестве контрольных точек для более точного построения графика удобно взять точку (3; -2) — вершину параболы, точку (0; 7) и симметричную ей относительно оси параболы точку (6; 7).
Чтобы построить теперь график функции \( y = |x^2-6x+7| \), нужно оставить без изменения те части построенной параболы, которые лежат не ниже оси x, а ту часть параболы, которая лежит ниже оси x, отобразить зеркально относительно оси x.
2) Построим график линейной функции \( y = \frac{5x-9}{3} \). В качестве контрольных точек удобно взять точки (0; –3) и (3; 2).

Существенно то, что точка х = 1,8 пересечения прямой с осью абсцисс располагается правее левой точки пересечения параболы с осью абсцисс — это точка \( x=3-\sqrt{2} \) (поскольку \( 3-\sqrt{2} < 1{,}8 \) ).
3) Судя по чертежу, графики пересекаются в двух точках — А(3; 2) и В(6; 7). Подставив абсциссы этих точек x = 3 и x = 6 в заданное уравнение, убеждаемся, что и при том и при другом значении получается верное числовое равенство. Значит, наша гипотеза подтвердилась — уравнение имеет два корня: x = 3 и x = 6. Ответ: 3; 6.

Замечание. Графический способ при всём своём изяществе не очень надёжен. В рассмотренном примере он сработал только потому, что корни уравнения — целые числа.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение \( |2x-4|+|x+3| = 8 \)

Первый способ
Выражение 2x–4 обращается в 0 в точке х = 2, а выражение х + 3 — в точке х = –3. Эти две точки разбивают числовую прямую на три промежутка: \( x < -3, \; -3 \leq x < 2, \; x \geq 2 \)

Рассмотрим первый промежуток: \( (-\infty; \; -3) \).
Если x < –3, то 2x–4 < 0 и x+3 < 0. Значит, |2х – 4| = –(2х – 4), а |х + 3| = –(х + 3). Таким образом, на рассматриваемом промежутке заданное уравнение принимает вид: –(2х – 4) – (х + 3) = 8. Решив это уравнение, находим: \( x=-\frac{7}{3} \). Это значение не удовлетворяет условию х < –3 и поэтому не является корнем заданного уравнения.
Рассмотрим второй промежуток: \( [-3; \; 2) \).
Если \( -3 \leq x < 2 \), то 2х – 4 < 0, а \( x+3 \geq 0 \). Значит, |2х – 4| = –(2х – 4), а |х + 3| = (x + 3). Таким образом, на рассматриваемом промежутке заданное уравнение принимает вид: –(2х – 4) + (x + 3) = 8. Решив это уравнение, находим: х = –1. Это значение принадлежит рассматриваемому промежутку, а потому является корнем заданного уравнения.
Рассмотрим третий промежуток: \( [2; \; +\infty) \).
Если \( x \geq 2 \), то \( 2x-4 \geq 0 \) и x + 3 > 0. Значит, |2х – 4| = (2х – 4), |х + 3| = (х + 3). Таким образом, на рассматриваемом промежутке заданное уравнение принимает вид: (2х – 4) + (х + 3) = 8. Решив это уравнение, находим: х = 3. Это значение принадлежит рассматриваемому промежутку, а потому является корнем заданного уравнения.
Итак, \(x_1=-1, \; x_2=3 \).

Второй способ
Преобразуем уравнение к виду 2|x – 2| + |x + 3| = 8. Переведём эту аналитическую модель на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки М(х), которые удовлетворяют условию \( 2\rho(x; \;2)+ \rho(x; \;-3) =8 \) или
MA + 2MB = 8
( здесь A = A(–3), B = B(2) ).

Интересующая нас точка М не может находиться левее точки А, поскольку в этом случае 2MB > 10 и, следовательно, равенство MA + 2MB = 8 выполняться не может.
Рассмотрим случай, когда точка \( M_1(x) \) лежит между А и В. Для такой точки равенство MA + 2MB = 8 принимает вид:
(х – (–3)) + 2(2 – х) = 8,
откуда находим: x = –1.
Рассмотрим случай, когда точка \( M_2(x) \) лежит правее точки B. Для такой точки равенство MA + 2MB = 8 принимает вид:
(х – (–3)) + 2(х – 2) = 8,
откуда находим: х = 3.
Ответ: –1; 3.

Пусть теперь требуется решить неравенство \( |f(x)| < g(x) \). Освободиться от знака модуля можно тремя способами.

Первый способ.
Если \( f(x) \geq 0 \), то \( |f(x)| = f(x) \) и заданное неравенство принимает вид \( f(x) < g(x) \). Если \( f(x) < 0 \), то \( |f(x)| = -f(x) \) и заданное неравенство принимает вид \( -f(x) < g(x) \). Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
\( \left\{\begin{array}{l} f(x) \geq 0 \\ f(x) < g(x) \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} f(x) < 0 \\ -f(x) < g(x) \end{array}\right. \)

Второй способ.
Перепишем заданное неравенство в виде \( g(x) > |f(x)| \). Отсюда сразу следует, что \( g(x) > 0 \). Воспользуемся тем, что при \( g(x) > 0 \) неравенство \( |f(x)| < g(x) \) равносильно двойному неравенству \( -g(x) < f(x)< g(x) \). Это позволит свести неравенство \( |f(x)| < g(x) \) к системе неравенств
\( \left\{\begin{array}{l} g(x) > 0, \\ -g(x) < f(x)< g(x), \end{array}\right. \)
или, подробнее, к системе неравенств
\( \left\{\begin{array}{l} g(x) > 0 \\ f(x) < g(x) \\ f(x) > -g(x) \end{array}\right. \)

Третий способ.
Воспользуемся тем, что при \( g(x) > 0 \) обе части неравенства \( |f(x)| < g(x) \) неотрицательны, а потому их возведение в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Учтём, кроме того, что \( |a|^2 = a^2 \). Это позволит свести неравенство \( |f(x)| < g(x) \) к системе неравенств
\( \left\{\begin{array}{l} g(x) > 0 \\ (f(x))^2 < (g(x))^2 \end{array}\right. \)

ПРИМЕР 4. Решить неравенство \( |x^2 - 3x + 2| < 2x - x^2 \)

Первый способ
Заданное неравенство сводится к совокупности двух систем неравенств:
\( \left\{\begin{array}{l} x^2 - 3x + 2 \geq 0 \\ x^2 - 3x + 2 < 2x - x^2 \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} x^2 - 3x + 2 < 0 \\ -(x^2 - 3x + 2) < 2x - x^2 \end{array}\right. \)
Решая первую систему, получаем:
\( \left\{\begin{array}{l} (x-1)(x-2) \geq 0 \\ 2(x-2)(x-0{,}5) < 0 \end{array}\right. \)
откуда находим: \( 0{,}5 < x \leq 1 \).

Решая вторую систему, получаем:
\( \left\{\begin{array}{l} (x-1)(x-2) < 0, \\ x<2, \end{array}\right. \)
откуда находим: \( 1 < x < 2 \)

Объединив найденные решения систем неравенств, получим: \( 0{,}5 < x < 2 \).

Второй способ.
Заданное неравенство сводится к системе неравенств:
\( \left\{\begin{array}{l} 2x - x^2 > 0 \\ x^2 - 3x + 2 < 2x - x^2 \\ x^2 - 3x + 2 > -(2x - x^2) \end{array}\right. \)
Решая эту систему, получаем:
\( \left\{\begin{array}{l} x(x - 2) < 0 \\ 2(x-2)(x-0{,}5) < 0 \\ x < 2 \end{array}\right. \)
откуда находим: \( 0{,}5 < х < 2 \)

Третий способ.
Заданное неравенство сводится к системе неравенств
\( \left\{\begin{array}{l} 2x - x^2 > 0 \\ (x^2 - 3x + 2)^2 < (2x - x^2)^2 \end{array}\right. \Rightarrow \)
\( \left\{\begin{array}{l} x(x - 2) < 0 \\ (x^2 - 3x + 2)^2 - (2x - x^2)^2 < 0 \end{array}\right. \Rightarrow \)
\( \left\{\begin{array}{l} x(x - 2) < 0 \\ ((x^2 - 3x + 2) - (2x - x^2))((x^2 - 3x + 2) + (2x - x^2)) < 0 \end{array}\right. \Rightarrow \)
\( \left\{\begin{array}{l} 0< x < 2 \\ (2x^2 - 5x + 2)(x - 2) > 0 \end{array}\right. \Rightarrow \)
\( \left\{\begin{array}{l} 0< x < 2 \\ (2x - 1)(x - 2)^2 > 0 \end{array}\right. \Rightarrow \)
\( \left\{\begin{array}{l} 0< x < 2 \\ x > 0{,}5 \end{array}\right. \)
Из последней системы находим: \( 0{,}5 < x < 2 \)

Ответ: \( 0{,}5 < x < 2 \).

Пусть теперь требуется решить неравенство \( |f(x)| > g(x) \). Освободиться от знака модуля можно тремя способами.

Первый способ
Если \(f(x) \geq 0\), то \( |f(x)| = f(x) \) и заданное неравенство принимает вид \( f(x) > g(x) \).
Если \(f(x) < 0\), то \( |f(x)| = -f(x) \) и заданное неравенство принимает вид \( -f(x) > g(x) \).
Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
\( \left\{\begin{array}{l} f(x) \geq 0 \\ f(x) > g(x) \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} f(x) < 0 \\ -f(x) > g(x) \end{array}\right. \)

Второй способ.
Рассмотрим два случая: \( g(x) \geq 0, \; g(x) < 0 \).
Если \( g(x) < 0 \), то неравенство \( |f(x)| > g(x) \) выполняется для всех x из области определения выражения f(x).
Если \( g(x) \geq 0 \), то воспользуемся тем, что согласно утверждению 3) в самом начале данной теории неравенство \( |f(x)| > g(x) \) равносильно совокупности неравенств \( f(x) < -g(x); \; f(x) > g(x) \).
Таким образом, заданное неравенство сводится к совокупности трёх систем:
\( \left\{\begin{array}{l} g(x) < 0 \\ x \in D(f) \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} g(x) \geq 0 \\ f(x) < -g(x) \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} g(x) \geq 0 \\ f(x) > g(x) \end{array}\right. \)

Третий способ.
Воспользуемся тем, что при \( g(x) \geq 0 \) неравенство \( |f(x)| > g(x) \) равносильно неравенству \( (|f(x)|)^2 > (g(x))^2 \). Это позволит свести неравенство \( |f(x)| > g(x) \) к совокупности систем:
\( \left\{\begin{array}{l} g(x) < 0 \\ x \in D(f) \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} g(x) \geq 0 \\ (f(x))^2 > (g(x))^2 \end{array}\right. \)

ПРИМЕР 5. Решить неравенство \( |x^2 - 3x + 2| \geq 2x - x^2 \)

Первый способ
Задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
\( \left\{\begin{array}{l} x^2 - 3x + 2 \geq 0 \\ x^2 - 3x + 2 \geq 2x - x^2 \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} x^2 - 3x + 2 < 0 \\ -(x^2 - 3x + 2) \geq 2x - x^2 \end{array}\right. \)
Решив первую систему, получим: \( x \leq 0{,}5; \; x \geq 2 \).
Вторая система не имеет решений.

Второй способ
Если \( 2x - x^2 \leq 0 \), то заданное неравенство выполняется для любого x (его левая часть неотрицательна, а правая — неположительна).
Если \( 2x - x^2 > 0 \), то заданное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
\( \left[\begin{array}{l} x^2 - 3x + 2 \geq 2x - x^2 \\ x^2 - 3x + 2 \leq -(2x - x^2) \end{array}\right. \)
Таким образом, получаем совокупность неравенства и двух систем неравенств:
\( 2x - x^2 \leq 0; \) \( \left\{\begin{array}{l} 2x - x^2 > 0 \\ x^2 - 3x + 2 \geq 2x - x^2; \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} 2x - x^2 > 0 \\ x^2 - 3x + 2 \leq -(2x - x^2) \end{array}\right. \)
Решив неравенство \( 2x - x^2 \leq 0 \), получим: \( x \leq 0,\; x \geq 2 \)
Решив первую систему, получим: \( 0 < x \leq 0{,}5 \).
Вторая система не имеет решений.
В итоге получаем: \( x \leq 0{,}5; \; x \geq 2 \).

Третий способ
Если \( 2x - x^2 \leq 0 \), то заданное неравенство выполняется для любого x.
Если \( 2x - x^2 > 0 \), то обе части заданного неравенства можно возвести в квадрат. Таким образом, получаем совокупность неравенства и системы неравенств:
\( 2x - x^2 \leq 0; \) \( \left\{\begin{array}{l} 2x - x^2 > 0 \\ (x^2 - 3x + 2)^2 \geq (2x - x^2)^2 \end{array}\right. \)
Решив неравенство \( 2x - x^2 \leq 0 \), получим: \( x \leq 0,\; x \geq 2 \)
Решая систему, получаем последовательно:
\( \left\{\begin{array}{l} x(x - 2) < 0 \\ (x^2 - 3x + 2)^2 - (2x - x^2)^2 \geq 0 \end{array}\right. \Rightarrow \) \( \left\{\begin{array}{l} 0< x < 2 \\ ((x^2 - 3x + 2) - (2x - x^2))((x^2 - 3x + 2) + (2x - x^2)) \geq 0 \end{array}\right. \Rightarrow \) \( \left\{\begin{array}{l} 0< x < 2 \\ (2x^2 - 5x + 2)(x - 2) \leq 0 \end{array}\right. \Rightarrow \) \( \left\{\begin{array}{l} 0< x < 2 \\ 2(x - 0{,}5)(x - 2)^2 \leq 0 \end{array}\right. \Rightarrow \) \( \left\{\begin{array}{l} 0< x < 2 \\ x \leq 0{,}5; \; x=2 \end{array}\right. \Rightarrow \)
\( 0< x \leq 0{,}5 \)
Объединив это решение с найденными выше решениями \( x \leq 0, \; x \geq 2 \), получаем: \( x \leq 0{,}5; \; x \geq 2 \). Ответ: \( x \leq 0{,}5; \; x \geq 2 \).

ПРИМЕР 6. Решить неравенство \( |x-2| + |x+4| < 10 \)

Первый способ
Выражение \( x-2 \) обращается в ноль в точке 2, а выражение \( x+4 \) обращается в ноль в точке –4. Указанные две точки разбивают числовую прямую на три промежутка: \( x < -4; \; -4 \leq x < 2; x \geq 2 \)
На промежутке \(x < -4\) выражение x–2 принимает отрицательные значения, так же как и выражение x + 4. Значит, на указанном промежутке выполняются соотношения:
\( |x-2| = -(x-2); \; |x+4| = -(x+4) \)
Поэтому заданное неравенство принимает вид
\( -(x-2) - (x+4) < 10 \).
На промежутке \( -4 \leq x < 2 \) выражение х–2 принимает отрицательные значения, а выражение х+4 — неотрицательные. Значит, на указанном промежутке выполняются соотношения:
\( |x-2| = -(x-2); \; |x+4| = x+4 \)
Поэтому заданное неравенство принимает вид
\(-(x - 2) + (x + 4) < 10 \)
Наконец, на промежутке \( x \geq 2 \) выражение х-2 принимает неотрицательные значения, равно как и выражение х + 4. Значит, на указанном промежутке выполняются соотношения: \( |x-2| = x-2; \; |x+4| = x+4 \),
а потому заданное неравенство принимает вид:
\( x - 2 + x + 4 < 10 \)
В итоге получаем совокупность трёх систем неравенств:
\( \left\{\begin{array}{l} x < -4 \\ -(x-2) - (x+4) < 10 \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} -4 \leq x < 2 \\ -(x - 2) + (x + 4) < 10 \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} x \geq 2 \\ (x - 2) + (x + 4) < 10 \end{array}\right. \)
Из первой системы получаем: \(-6 < x < -4\), из второй: \(-4 \leq x < 2\), из третьей: \(2 \leq x < 4\). Объединив найденные решения, получаем: \(-6 < x < 4\).

Второй способ
Переведём аналитическую модель \( |x-2| + |x+4| < 10 \) на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию \( \rho (x;\; 2) + \rho (x;\; -4) < 10 \), т.е. сумма расстояний каждой из таких точек от точек 2 и –4 меньше 10. Это точки заключённы в интервале от –6 до 4

Ответ: \(-6 < x < -4\)