Решение задач по математике онлайн



Калькулятор онлайн.
Вычисление угла между двумя прямыми

Этот калькулятор онлайн вычисляет угол между двумя прямыми заданными в каноническом виде (для трехмерного пространства):

$$ \frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n} $$
и в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом (для двухмерного пространства):
$$ y = kx+b $$

Онлайн калькулятор для вычисления расстояния от точки до плоскости не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: \( -\frac{2}{3} \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: \( -1\frac{5}{7} \)



y= x+b1
y= x+b2
Вычислить угол между прямыми


Если вы заметили ошибку в решении, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи.
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля.

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Уравнения прямой

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей и определять заданием двух уравнений. В частности, каждую прямую линию можно рассматривать как пересечение двух плоскостей и соответственно этому определять заданием двух уравнений первой степени.

Пусть заданы некоторая прямоугольная система координат Oxyz и произвольная прямая L. Обозначим через \( \pi_1 \), и \( \pi_2 \) две различные плоскости, пересекающиеся по прямой L, заданные соответственно уравнениями
$$ \left\{ \begin{array}{l} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{array} \right. \qquad (1) $$

Два уравнения вида (1) совместно определяют прямую L в том и только в том случае, когда плоскости \( \pi_1 \), и \( \pi_2 \) не параллельны и не совпадают друг с другом, т.е. нормальные векторы этих плоскостей \( N_1(A_1;B_1;C_1) \) и \( N_2(A_2;B_2;C_2) \) не коллинеарны (коэффициенты A1, B1, C1 не пропорциональны коэффициентам A2, B2, C2).

Уравнения (1) называются общими уравнениями прямой.

Канонические уравнения прямой.

Для решения задач уравнения (1) не всегда удобны, поэтому используют специальный вид уравнений прямой.

Пусть дана какая-нибудь прямая L и ненулевой вектор \( \vec{a} \), лежащий на данной прямой или параллельный ей. Вектор а называется направляющим вектором данной прямой. Выведем уравнения прямой, проходящей через данную точку \( M_0(x_0;y_0;z_0) \) и имеющей данный направляющий вектор \( \vec{a}(l;m;n) \)

Пусть \( M(x;y;z) \) — произвольная точка. Она лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор \( \vec{M_0M}(x-x_0; y-y_0; z-z_0) \) коллинеарен направляющему вектору \( \vec{a}(l;m;n) \), т.е. когда координаты вектора \( \vec{M_0M} \) пропорциональны координатам вектора \( \vec{a} \):

$$ \frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n} \qquad (2) $$

Уравнения (2) и являются искомыми. Они называются каноническими уравнениями прямой.

Для того чтобы составить канонические уравнения (2), если прямая L задана уравнениями (1), необходимо:
1) найти какую-нибудь точку \( M_0(x_0;y_0;z_0) \in L \); для этого следует задать числовое значение одной из неизвестных координат \( x_0, \; y_0, \; z_0 \) и подставить его вместо соответствующей переменной в уравнения (1), после этого две другие координаты определяются в результате совместного решения уравнений (1);
2) найти направляющий вектор \( \vec{a}(l;m;n) \). Так как прямая L определена пересечением плоскостей \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \), то она перпендикулярна каждому из нормальных векторов \( \vec{N_1} \) и \( \vec{N_2} \). Поэтому в качестве вектора \( \vec{a} \) можно взять любой вектор, перпендикулярный векторам \( \vec{N_1} \) и \( \; \vec{N_2} \), например их векторное произведение \( \vec{a}= \vec{N_1} \times \vec{N_2} \). Так как координаты векторов \( \vec{N_1} \) и \( \vec{N_2} \) известны: \( \vec{N_1}(A_1;\;B_1;\;C_1), \;\; \vec{N_2}(A_2;\;B_2;\;C_2) \) , то по теореме найдем координаты вектора \( \vec{a} \):

\( \vec{a} = \left\{ \begin{vmatrix} B_1 & C_1 \\ B_2 & C_2 \end{vmatrix} \; ; \; \begin{vmatrix} C_1 & A_1 \\ C_2 & A_2 \end{vmatrix} \; ; \; \begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix} \right\} = (l; m; n) \)

Параметрические уравнения прямой

Иногда прямую полезно задавать не в виде канонических уравнений (2), а иначе. Пусть прямая L задана уравнениями (2). Обозначим через t каждое из равных отношений. Тогда

$$ \frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n} = t $$
откуда
$$ x=x_0+lt, \;\; y=y_0+mt, \;\; z=z_0+nt \qquad (3) $$

Равенства (3) называются параметрическими уравнениями прямой L, проходящей через точку \( M_0(x_0;y_0;z_0) \) и имеющей направляющий вектор \( \vec{a}(l;m;n) \). В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр \( (-\infty < t < +\infty ) \) ; x, y, z - как функции от t. При изменении t величины x, y, z изменяются, так что точка \( M(x;y;z) \) движется по данной прямой.

Параметрические уравнения удобны в тех случаях, когда требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью. В самом деле, пусть непараллельные плоскость \( \pi \) и прямая \( L \) заданы соответственно уравнениями
\( Ax + By + Cz + D = 0 \)
\( x=x_0+lt, \;\; y=y_0+mt, \;\; z=z_0+nt \)

Для определения точки пересечения прямой и плоскости подставим выражения для x, y, z из уравнений L в уравнение \( \pi \). В результате преобразований получаем
$$ t= -\frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D }{Al+Bm+Cn} $$
причем знаменатель дроби не равен нулю, так как плоскость не параллельна прямой. Подставляя найденное значение t в уравнения прямой, находим искомую точку \( M(x;y;z) \) пересечения прямой \( L \) с плоскостью \( \pi \).

Угол между прямыми

Рассмотрим две прямые \( L_1 \) и \( L_2 \), заданные соответственно уравнениями

$$ \frac{x-x_1}{l_1} = \frac{y-y_1}{m_1} = \frac{z-z_1}{n_1} $$
$$ \frac{x-x_2}{l_2} = \frac{y-y_2}{m_2} = \frac{z-z_2}{n_2} $$
При любом расположении прямых \( L_1 \) и \( L_2 \) в пространстве один из двух углов между ними равен углу \( \varphi \) между их направляющими векторами \( \vec{a_1}(l_1;m_1;n_1) \) и \( \vec{a_2}(l_2;m_2;n_2) \), а второй угол равен \( 180^\circ - \varphi \). Угол \( \varphi \) вычисляется по следующей формуле:
$$ \cos \varphi = \frac{l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \; \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2} } $$