Решение задач по математике онлайн



Калькулятор онлайн.
Решение пределов.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции. Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс вычисления предела.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Примеры подробного решения >>

Введите выражение функции
Вычислить предел


Если вы заметили ошибку в решении, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи.
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля.

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Предел функции при х->х0

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \( x_0 \in X \) или \( x_0 \notin X \)

Возьмем из X последовательность точек, отличных от х0:
x1, x2, x3, ..., xn, ...      (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x1), f(x2), f(x3), ..., f(xn), ...      (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение. Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х0 (или при х -> x0), если для любой сходящейся к x0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.

Символически это записывается так:
$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$

Функция f(x) может иметь в точке x0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
{f(xn)} имеет только один предел.

Существует другое определение предела функции.

Определение Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x0, если для любого числа \( \varepsilon > 0 \) существует число \( \delta > 0 \) такое, что для всех \( x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \( |x-x_0| < \delta \), выполняется неравенство \( |f(x)-A| < \varepsilon \)

Используя логические символы, это определение можно записать в виде
\( (\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| < \delta): |f(x)-A| < \varepsilon \)

Отметим, что неравенства \( x \neq x_0, \; |x-x_0| < \delta \) можно записать в виде \( 0 < |x-x_0| < \delta \)

Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \( \varepsilon - \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более удобно при решении той или иной задачи.

Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \( \varepsilon - \delta \)» — определением предела функции по Коши.

Предел функции при x->x0- и при x->x0+

В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x0, если для любой сходящейся к x0 последовательности (1), элементы xn которой больше (меньше) x0, соответствующая последовательность (2) сходится к А.

Символически это записывается так:
$$ \lim_{x \to x_0+} f(x) = A \; \left( \lim_{x \to x_0-} f(x) = A \right) $$

Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \( \varepsilon - \delta \)»:

Определение число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x0, если для любого \( \varepsilon > 0 \) существует \( \delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам \( x_0 < x < x_0 + \delta \; (x_0 -\delta < x < x_0 ) \) , выполняется неравенство \( |f(x)-A| < \varepsilon \).
Символические записи:

\( (\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0 < x < x_0 + \delta ): |f(x)-A| < \varepsilon \)
\( (\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0 -\delta < x < x_0 ): |f(x)-A| < \varepsilon \)

Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.

Теорема
Функция f(х) имеет в точке x0 предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

Предел функции при \( x \to \infty \), при \( x \to -\infty \) и при \( x \to +\infty \)

Кроме рассмотренных понятий предела функции при x->x0 и односторонних пределов существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при \( x \to \infty \), если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

Символическая запись:
$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = A $$

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при \( x \to +\infty \; (x \to -\infty) \) , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы xn которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Символическая запись:
$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = A \; \left( \lim_{x \to -\infty} f(x) = A \right) $$

Теоремы о пределах функций

Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести доказанные выше теоремы о пределах последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.

Теорема. Пусть функции f(х) и g(х) имеют в точке x0 пределы В и С. Тогда функции f(x)±g(x), f(x) g(x) и \( \frac{f(x)}{g(x)} \) (при \( C \neq 0 \) ) имеют в точке x0 пределы, равные соответственно В±С, ВС и \( \frac{B}{C} \).

Теорема. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть может, самой точки x0, и функции f(х), h(x) имеют в точке x0 предел, равный А, т.е. $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = A $$
Пусть, кроме того, выполняются неравенства \( f(x) \leq g(x) \leq h(x) \). Тогда $$ \lim_{x \to x_0} g(x) = A $$

Теорема Лопиталя. Если $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0 $$ или \(\infty \) f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности x0 , и \( g'(x) \neq 0 \) в окрестности x0 , и существует $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$ то существует $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$

Т.е. теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Теорема Лопиталя позволяет раскрывать неопределённости вида \( \frac{0}{0} \) и \( \frac{\infty}{\infty} \).

Первый замечательный предел

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

Второй замечательный предел

$$ \lim_{x \to \infty} \left( 1+ \frac{1}{x} \right)^x = e $$