Решение задач по математике онлайн



Калькулятор онлайн.
Решение иррациональных уравнений и неравенств.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить иррациональное уравнение или неравенство. Программа для решения иррациональных уравнений и неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию и общие методы решения иррациональных уравнений и неравенств.

Примеры подробного решения >>

sqrt(x) - квадратный корень x
x^(1/n) - корень степени n

Введите иррациональное уравнение или неравенство
Решить уравнение или неравенство


Если вы заметили ошибку в решении, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи.
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля.

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Решение иррациональных уравнений и неравенств

1. Иррациональные уравнения

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Для таких уравнений ищут, как правило, только действительные корни.

Основной метод решения иррациональных уравнений — метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При этом следует иметь в виду, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечётную степень есть равносильное преобразование уравнения, а в чётную — НЕравносильное. Значит, основные принципиальные трудности связаны с возведением обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, когда из-за неравносильности преобразования могут появиться посторонние корни, а потому обязательна проверка всех найденных корней.

ПРИМЕР 1.
\( \sqrt[\Large6\normalsize]{x^2-5x} = \sqrt[\Large6\normalsize]{2x-6} \)

Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим:
\( x^2-5x = 2x-6 \Rightarrow \)
\( x^2-7x +6= 0 \Rightarrow \)
\( x_1=1, \; x_2=6 \)
Проверка. «Хорошие» корни можно проверить непосредственной подстановкой в исходное уравнение. При x = 1 заданное уравнение принимает вид \( \sqrt[\Large6\normalsize]{-4} = \sqrt[\Large6\normalsize]{-4} \), во множестве действительных чисел такое «равенство» не имеет смысла. Значит, 1 — посторонний корень, он появился по причине расширения ОДЗ уравнения после возведения в шестую степень. При х = 6 заданное уравнение принимает вид \( \sqrt[\Large6\normalsize]{6} = \sqrt[\Large6\normalsize]{6} \) — это верное равенство.
Итак, уравнение имеет единственный корень: х = 6.
Ответ: х = 6

ПРИМЕР 2.
\( \sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x^2-x+7} = \sqrt{2x^2-2x+21} \)

Введя новую переменную \( u=x^2-x\), получим существенно более простое иррациональное уравнение:
\( \sqrt{u+2}+\sqrt{u+7} = \sqrt{2u+21} \).
Возведём обе части уравнения в квадрат:
\( (\sqrt{u+2}+\sqrt{u+7})^2 = (\sqrt{2u+21})^2 \Rightarrow \)
\( u+2 +2\sqrt{u+2}\sqrt{u+7} +u+7 = 2u+21 \Rightarrow \)
\( \sqrt{(u+2)(u+7)} = 6 \Rightarrow \)
\( u^2+9u+14=36 \Rightarrow \)
\( u^2+9u-22=0 \Rightarrow \)
\( u_1=2, \; u_2=-11 \)
Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение \( \sqrt{u+2}+\sqrt{u+7} = \sqrt{2u+21} \) показывает, что \( u_1=2 \) — корень уравнения, а \( u_2=-11 \) — посторонний корень.
Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение \( x^2-x=2 \Rightarrow x^2-x-2=0 \), решив которое находим два корня: \( x_1=2, \; x_2=-1 \)
Ответ: 2; -1.

ПРИМЕР 3.
\( x^2+3-\sqrt{2x^2-3x+2} = 1{,}5(x+4) \)

Уединение корня и возведение обеих частей уравнения в квадрат привело бы к громоздкому уравнению. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, можно заметить, что уравнение легко сводится к квадратному. Действительно, умножим обе его части на 2:
\( 2x^2 +6 -2\sqrt{2x^2-3x+2} = 3x+12 \Rightarrow \)
\( 2x^2 -3x +2 -2\sqrt{2x^2-3x+2} -8 = 0 \Rightarrow \)

Введя новую переменную \( y=\sqrt{2x^2-3x+2} \), получим: \( y^2-2y-8=0 \), откуда \( y_1=4, \; y_2=-2 \). Значит, исходное уравнение равносильно следующей совокупности уравнений:
\( \left[\begin{array}{l} \sqrt{2x^2-3x+2} =4 \\ \sqrt{2x^2-3x+2} = -2 \end{array}\right. \)

Из первого уравнения этой совокупности находим: \( x_1=3{,}5; \; x_2=-2 \). Второе уравнение корней не имеет.

Проверка. Так как совокупность уравнений равносильна исходному уравнению, причём второе уравнение этой совокупности корней не имеет, то найденные корни можно проверить подстановкой в уравнение \( \sqrt{2x^2-3x+2} =4\). Эта подстановка показывает, что оба найденных значения x являются корнями этого уравнения, а значит, и исходного уравнения.
Ответ: 3,5; -2.

ПРИМЕР 4.
\( 2x -5 +2\sqrt{x^2-5x} +2\sqrt{x-5} +2\sqrt{x}= 48 \)

Областью определения уравнения является луч \( [5; \; +\infty) \). В этой области выражение \( \sqrt{x^2-5x} \) можно представить следующим образом: \( \sqrt{x^2-5x} = \sqrt{x}\sqrt{x-5} \). Теперь уравнение можно переписать так:
\( x+x -5 +2\sqrt{x}\sqrt{x-5} +2\sqrt{x-5} +2\sqrt{x} -48 = 0 \Rightarrow \) \( (\sqrt{x})^2 +2\sqrt{x}\sqrt{x-5} +(\sqrt{x-5})^2 +2(\sqrt{x-5}+\sqrt{x}) -48 = 0 \Rightarrow \) \( (\sqrt{x-5} +\sqrt{x})^2 +2(\sqrt{x-5}+\sqrt{x}) -48 = 0 \)

Введя новую переменную \( y= \sqrt{x-5} +\sqrt{x} \), получим квадратное уравнение \( y^2+2y-48=0 \), из которого находим: \( y_1=6, \; y_2=-8 \). Таким образом, задача свелась к решению совокупности уравнений:
\( \left[\begin{array}{l} \sqrt{x-5} +\sqrt{x} =6 \\ \sqrt{x-5} +\sqrt{x} = -8 \end{array}\right. \)
Из первого уравнения совокупности находим \( x= \left( \frac{41}{12} \right)^2 \), второе уравнение совокупности решений явно не имеет.

Проверка. Нетрудно проверить (подстановкой), что \( x= \left( \frac{41}{12} \right)^2 \) — является корнем уравнения \( \sqrt{x-5} +\sqrt{x} =6 \). Но это уравнение равносильно исходному уравнению, значит, \( x= \left( \frac{41}{12} \right)^2 \) — является корнем и исходного уравнения.
Ответ: \( x= \left( \frac{41}{12} \right)^2 \)

Иногда при решении иррациональных уравнений оказывается удобным ввести две новые переменные.

ПРИМЕР 5.
\( \sqrt[\Large4\normalsize]{1-x} + \sqrt[\Large4\normalsize]{15+x} =2 \)

Введём новые переменные: \( \left\{\begin{array}{l} u=\sqrt[\Large4\normalsize]{1-x} \\ v=\sqrt[\Large4\normalsize]{15+x} \end{array}\right. \)

Тогда уравнение примет вид \(u+v=2\). Но для нахождения значений двух новых переменных одного уравнения недостаточно. Возведя в четвёртую степень обе части каждого из уравнений системы, получим:
\( \left\{\begin{array}{l} u^4=1-x \\ v^4= 15+x \end{array}\right. \)

Сложим уравнения последней системы: \(u^4 +v^4 =16\). Таким образом, для нахождения u, v мы имеем следующую симметрическую систему уравнений:
\( \left\{\begin{array}{l} u+v=2 \\ u^4 +v^4 =16 \end{array}\right. \)
Решив её, находим: \( \left\{\begin{array}{l} u_1=0 \\ v_1 =2; \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} u_2=2 \\ v_2 =0 \end{array}\right. \)

Таким образом, исходное уравнение свелось к следующей совокупности систем уравнений: \( \left\{\begin{array}{l} \sqrt[\Large4\normalsize]{1-x} =0 \\ \sqrt[\Large4\normalsize]{15+x} =2; \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} \sqrt[\Large4\normalsize]{1-x} =2 \\ \sqrt[\Large4\normalsize]{15+x} =0 \end{array}\right. \)

Решив эту совокупность, находим: \(x_1=1, \; x_2=-15 \)

Проверка. Проще всего проверить найденные корни непосредственной подстановкой в заданное уравнение. Проделав это, убеждаемся, что оба значения являются корнями исходного уравнения.
Ответ: 1; -15.

ПРИМЕР 6.
\( \sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} = \sqrt[\Large3\normalsize]{2x-1} \)

Возведём обе части уравнения в куб:
\( 2x+1 + 3\sqrt[\Large3\normalsize]{(2x+1)^2} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} + 3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{(6x+1)^2} +6x+1 = 2x-1 \Rightarrow \) \( 3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} \cdot (3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} ) = -6x-3 \)

Воспользовавшись исходным уравнением, заменим сумму \( \sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} \) на выражение \( \sqrt[\Large3\normalsize]{2x-1} \):
\( 3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{2x-1} = -6x-3 \Rightarrow \)
\( 3\sqrt[\Large3\normalsize]{ (2x+1)(6x+1)(2x-1) } = -2x-1 \)
Возведём обе части в куб:
\( (2x+1)(6x+1)(2x-1) = -(2x+1)^3 \Rightarrow \)
\( (2x+1)((6x+1)(2x-1) + (2x+1)^2) =0 \Rightarrow \)
\( 16x^2(2x+1) =0 \Rightarrow \)
\( x_1= -0{,}5; \; x_2=0 \)

Проверка. Подстановкой найденных значений x в исходное уравнение убеждаемся, что его корнем является только x = -0,5.
Ответ: -0,5.

2. Иррациональные неравенства

Рассмотрим иррациональное неравенство вида \( \sqrt{f(x)} < g(x) \).

Ясно, что его решения должны удовлетворять условию \( f(x) \geq 0 \) и условию \( g(x) > 0 \). Осталось лишь заметить, что при одновременном выполнении указанных выше условий обе части заданного иррационального неравенства неотрицательны, а потому их возведение в квадрат представляет собой равносильное преобразование неравенства.

Таким образом, иррациональное неравенство \( \sqrt{f(x)} < g(x) \) равносильно системе неравенств
\( \left\{\begin{array}{l} f(x) \geq 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{array}\right. \)

ПРИМЕР 7.
\( \sqrt{x^2-x-12} < x \)

Данное неравенство равносильно системе неравенств:
\( \left\{\begin{array}{l} x^2-x-12 \geq 0 \\ x > 0 \\ x^2-x-12 < x^2 \end{array}\right. \Rightarrow \) \( \left\{\begin{array}{l} (x-4(x+3) \geq 0 \\ x > 0 \\ x > -12 \end{array}\right. \)

Получаем: \( x \geq 4\)


Ответ: \( x \geq 4\)

Рассмотрим теперь неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \).

Ясно, во-первых, что его решения должны удовлетворять условию \( f(x) \geq 0 \).
Во-вторых, замечаем, что при \( g(x) < 0 \) (и при отмеченном выше условии \( f(x) \geq 0 \) ) справедливость неравенства \( \sqrt{f(x)} > g(x) \) не вызывает сомнений.
В-третьих, замечаем, что если \( g(x) \geq 0 \), то можно возвести в квадрат обе части заданного иррационального неравенства.

Таким образом, иррациональное неравенство \( \sqrt{f(x)} > g(x) \) равносильно совокупности систем неравенств:
\( \left\{\begin{array}{l} f(x) \geq 0 \\ g(x) < 0; \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} f(x) \geq 0 \\ f(x) \geq 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{array}\right. \)

Во второй системе первое неравенство является следствием третьего, его можно не писать.

ПРИМЕР 8.
\( \sqrt{x^2-x-12} \geq x \)

Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:
\( \left\{\begin{array}{l} x^2-x-12 \geq 0 \\ x < 0; \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x^2-x-12 \geq x^2 \end{array}\right. \)

Имеем:
\( \left\{\begin{array}{l} (x-4)(x+3) \geq 0 \\ x < 0; \end{array}\right. \) \( \left\{\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x \leq -12 \end{array}\right. \)


Из первой системы находим: \( x \leq -3\), вторая система не имеет решений.
Ответ: \( x \leq -3\)

ПРИМЕР 9.
\( (x+5)(x-2) +3\sqrt{x(x+3)} >0 \)

Преобразуем неравенство к виду \( x^2+3x-10 +3\sqrt{x^2+3x} >0 \) и введём новую переменную \( y= \sqrt{x^2+3x} \). Тогда последнее неравенство примет вид \( y^2+3y-10 >0 \), откуда находим, что либо \(y < -5\), либо \(y>2\).

Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух неравенств:
\( \left[\begin{array}{l} \sqrt{x^2+3x} < -5 \\ \sqrt{x^2+3x} > 2 \end{array}\right. \)

Первое неравенство не имеет решений, а из второго находим:
\( x^2+3x >4 \Rightarrow \)
\( (x+4)(x-1) >0 \Rightarrow \)
\( x<-4, \; x>1 \)
Ответ: \( x<-4, \; x>1 \).