Решение задач по математике онлайн


Решение неравенств: линейные, квадратные и дробные. Описание.

<< Назад (к решению неравенств)

Какие неравенства можно решить?

Эта математическая программа подробно решает следующие неравенства с одной переменной.

Линейные
Неравенства сводящиеся к виду: \( ax+b > 0 \) (знак сравнения любой).
Например:

\( 2x-5 \leq 0 ; \)
\( 2x-5 > 4-5x ; \)
\( 2(x-5)+1 > 4-5x ; \)
\( 2x^2-5x+7 \geq 2x^2-6x \)

Квадратные
Неравенства сводящиеся к виду: \( ax^2+bx+c > 0 \) (знак сравнения любой).
Например:

\( 2x^2+4x-5 < 0 ; \)
\( 6x-1 > x^2-x ; \)
\( (x-2)^2+1 \leq 3x-5; \)
и такое тоже \( -4x^3-5x+7 \geq -4x^3+x^2-6x+1 \)

Дробные
Неравенства сводящиеся к виду: \( \Large \frac{a_1x^2+b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}\normalsize > 0 \) (знак сравнения любой).

Коэффициенты \( a_1 \) и \( a_2 \) могут быть нулевыми, т.е. и в числителе и в знаменателе дроби может быть и линейный и квадратный многочлен.
Например:

$$ \frac{-x^2+2x-3}{4x+1} > -3x-1 ; $$
$$ \frac{5}{4(x+1)(x-3)-x+6} < 2x-5 ; $$
$$ \frac{4x^2-2}{1-x-3x^2} < 2 ; $$
и т.д.

Разбитые на множители
Если в правой части - ноль, а в левой части полином(ы) разбит(ы) на линейные множители, т.е. множители вида \( ax+b \)
Например:

$$ -(2x-1)x(x-2)^2 > 0 ; $$
$$ \frac{-1}{4(x+1)(x-3)^3} < 0 ; $$
$$ \frac{-4(2-3x)(2-x)}{x^2+x-5} \geq 0 ; $$
и т.д.

<< Назад (к решению неравенств)

Примеры подробного решения


Решить неравенство:
$$\frac{4 x^2-7 x+3}{3 x-1} \geq x-1$$
Решение:
$$\frac{4 x^2-7 x+3}{3 x-1} \geq x-1\Rightarrow $$
$$\frac{4 x^2-7 x+3- \left( x-1 \right) \left( 3 x-1 \right) }{3 x-1} \geq 0$$
Упрощение выражения \(4 x^2-7 x+3- \left( x-1 \right) \left( 3 x-1 \right) \)
$$4 x^2-7 x+3- \left( x-1 \right) \left( 3 x-1 \right) = $$
Раскрытие скобок:
$$4 x^2-7 x+3+ \left( -x+1 \right) \left( 3 x-1 \right) = $$
Раскрытие скобок:
$$4 x^2-7 x+3-3 x^2+x+3 x-1= $$
$$x^2-3 x+2$$
Ответ: \( x^2-3 x+2 \)
Решим квадратное уравнение \( x^2-3 x+2= 0 \)
Решение квадратного уравнения \( x^2-3 x+2= 0 \)

Вычислим дискриминант.
$$D = b^2-4ac = 1$$
$$x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} = \frac{3\pm\sqrt{1}}{2} = \frac{3\pm1}{2} $$
Ответ: \( x_1 = 2,\; x_2 = 1 \)
Решение по теореме Виета
Т.к. \( \left| a \right|=1 \), то можно воспользоваться теоремой Виета:
$$x^2+px+q=0 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=3 \\ x_1 \cdot x_2=2 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1=2 \\ x_2=1 \end{array}\right.$$
Ответ: \( x_1= 2,\; x_2= 1 \)
Корни квадратного уравнения:
$$ x_1 = 1 ;\; x_2 = 2 $$
Решим линейное уравнение \( 3 x-1= 0 \)
Корень линейного уравнения: \( x = \frac{1}{3}\)
Наносим найденные точки на числовую ось и вычисляем знаки на каждом интервале:
  $$ \frac{1}{3} $$ $$ 1 $$ $$ 2 $$  
Ответ:
$$ x \in \left( \frac{1}{3} ;\; 1 \right] \cup \left[ 2 ;\; +\infty \right) $$
или
$$ \frac{1}{3} < x \leq 1 ;\;\; x \geq 2 $$
<< Назад (к решению неравенств)