Решение задач по математике онлайн


Калькулятор онлайн.
Решение неравенств: линейные, квадратные и дробные.

Программа решения неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Причём, если в процессе решения неравенства нужно решить, например, квадратное уравнение, то его подробное решение также выводится (оно заключается в спойлер).

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Какие неравенства можно решить?

Примеры подробного решения >>

Правила ввода неравенств
В качестве переменной можно использовать только x
Все остальные буквы недопустимы.

При вводе можно использовать только целые числа.
В показателе степени можно использовать только целые положительные числа.

Если вам нужно решить, например, такое неравенство \( 0,6x^2+0,8x-7,8 > 5(x-0,1) \), то умножте обе части неравенства на 10 (ответ при этом не изменятся) и введите такие выражения в поля ввода: 6x^2+8x-78 и 5(10x-1)

При вводе выражений можно использовать скобки. В этом случае при решении неравенства выражения сначала упрощаются.
Например:
>

Нажмите на кнопку Изменить тип неравенства для изменения типа неравенства.

Выберите нужный знак неравенства и введите многочлены в поля ниже.

Решить неравенство


Немного теории.

Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д., обозначающие результаты сравнения однородных величин.

Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.

Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и < начали лишь в XVII—XVIII вв. Например, вместо фразы «число а больше числа b» стали писать: а > b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), < (меньше), (больше или равно), (меньше или равно), стали называть неравенствами.

С числовыми неравенствами вы встречались и в младших классах. Знаете, что неравенства могут быть верными, а могут быть и неверными. Например, верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 — неверное числовое неравенство.

Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 — неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.

Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения.

Далее вы узнаете свойства неравенств, научитесь решать неравенства. Полученные умения вам понадобятся при изучении последующего материала, для решения практических задач, а также задач физики и геометрии.

Числовые неравенства

Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности.

Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.

Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.

Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а < b.

Таким образом, неравенство а > b означает, что разность а - b положительна, т.е. а - b > 0. Неравенство а < b означает, что а - b < 0.

Для любых двух чисел а и b из следующих трёх соотношений a > b, a = b, a < b только одно является верным.

Сравнить числа а и b — значит выяснить, какой из знаков >, = или < нужно поставить между этими числами, чтобы получить верное соотношение. Это можно сделать, определив знак разности а - b.

Теорема. Если a > b и Ь > с, то а > с.

Теорема. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие.Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Теорема. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений.

При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй - более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.

При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:

Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то a + c > b + d.

Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d - положительные числа, то ac > bd.

Неравенства со знаком > (больше) и < (меньше) называют строгими. Например, 5/6 > 1/2, 3/4 < 1, a > b, c < d - строгие неравенства.

Наряду со знаками строгих неравенств > и < используются знаки (больше или равно) и (меньше или равно), которые называют знаками нестрогих неравенств. Неравенство означает, что а < b или а = b, т. е. а не больше b. Например, если число посадочных мест в самолёте 134, то число а пассажиров может быть меньшим или равным 134. В этом случае можно записать:

Точно так же неравенство означает, что число а больше или равно b, т. е. а не меньше b.

Неравенства, содержащие знак или знак , называют нестрогими. Например, - нестрогие неравенства.

Все свойства строгих неравенств справедливы и для нестрогих неравенств. При этом если для строгих неравенств противоположными считались знаки > и <, то для нестрогих неравенств противоположными считаются знаки и .

Вы знаете, что для решения ряда прикладных задач приходится составлять математическую модель в виде уравнения или системы уравнений. Далее вы узнаете, что математическими моделями для решения многих задач являются неравенства с неизвестными. Будет введено понятие решения неравенства и показано, как проверить, является ли данное число решением конкретного неравенства.

Неравенства вида

в которых а и b — заданные числа, а x — неизвестное, называют линейными неравенствами с одним неизвестным.

Определение. Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство — это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Решение уравнений вы осуществляли путём приведения их к простейшим уравнениям. Аналогично при решении неравенств их стремятся с помощью свойств привести к виду простейших неравенств.

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Неравенства вида
и ,
где x — переменная, a, b и c — некоторые числа и , называют неравенствами второй степени с одной переменной.

Решение неравенства
или
можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция принимает положительные или отрицательные значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции в координатной плоскости: куда направлены ветви параболы - вверх или вниз, пересекает ли парабола ось x и если пересекает, то в каких точках.

Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной:
1) находят дискриминант квадратного трехчлена и выясняют, имеет ли трехчлен корни;
2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси x и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при a > 0 или вниз при a < 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при a > 0 или в нижней при a < 0;
3) находят на оси x промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство ) или ниже оси x (если решают неравенство
).

Решение неравенств методом интервалов

Рассмотрим функцию
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)

Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки и

Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.

Выражение (х + 2)(х - 3)(х - 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:

 
x+2+++
x-3++
x-5+

Отсюда ясно, что:
если , то f(x)<0;
если , то f(x)>0;
если , то f(x)<0;
если , то f(x)>0.

Мы видим, что в каждом из промежутков функция сохраняет знак, а при переходе через точки -2, 3 и 5 ее знак изменяется.

  -2 3 5  

Вообще пусть функция задана формулой
f(x) = (x-x1)(x-x2) ... (x-xn),
где x–переменная, а x1, x2, ..., xn – не равные друг другу числа. Числа x1, x2, ..., xn являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

Это свойство используется для решения неравенств вида
(x-x1)(x-x2) ... (x-xn) > 0,
(x-x1)(x-x2) ... (x-xn) < 0,
где x1, x2, ..., xn — не равные друг другу числа

Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.

Приведем примеры решения неравенств методом интервалов.

Решить неравенство:

Очевидно, что нулями функции f(x) = x(0,5-x)(x+4) являются точки

Наносим на числовую ось нули функции и вычисляем знак на каждом промежутке:

  -4 0 0,5  

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше нуля и записываем ответ.

Ответ:

или

Решить неравенство:

Решение:

Наносим на числовую ось нули и точки разрыва функции:

  1 4  

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.

Ответ:

или