Решение задач по математике онлайн



Калькулятор онлайн.
Решение геометрической прогрессии.
Дано: b1, q, n
Найти: bn и первых n членов.

Эта математическая программа находит \( b_n \) и первых \( n \) членов геометрической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел \( b_1, q \) и \( n \).
Числа \( b_1\) и \( q \) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной дроби ( \( 2,5 \) ) и в виде обыкновенной дроби ( \( -5\frac{2}{7} \) ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел
Числа \( b_1\) и \( q \) можно задать не только целые, но и дробные.
Число \( n\) может быть только целое положительное.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод:
Результат: \( -\frac{2}{3} \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод:
Результат: \( -1\frac{2}{3} \)

Введите числа b1, q, n


Найти bn и первых n членов


Если вы заметили ошибку в решении, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи.
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля.

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Числовая последовательность

В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках.

В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит. Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a1, a2, a3, ..., aN
где N — число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число an.

В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a1, a2, a3, ..., an, ... .
Число a1 называют первым членом последовательности, число a2вторым членом последовательности, число a3третьим членом последовательности и т. д.
Число an называют n-м (энным) членом последовательности, а натуральное число n — его номером.

Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, (n + 1)2, ... а1 = 1 - первый член последовательности; аn = n2 является n-м членом последовательности; an+1= (n + 1)2 является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности. Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена. Например, формулой \( a_n=\frac{1}{n}, \; n \in \mathbb{N} \) задана последовательность \( 1, \; \frac{1}{2} , \; \frac{1}{3} , \; \frac{1}{4} , \dots,\frac{1}{n} , \dots \)

Геометрическая прогрессия

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 4 см. Построим треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. По свойству средней линии треугольника сторона второго треугольника равна 2 см. Продолжая аналогичные построения, получим треугольники со сторонами \( 1, \; \frac{1}{2}, \; \frac{1}{4} \) см и т.д. Запишем последовательность длин сторон этих треугольников: \( 4, \; 2, \; 1, \; \frac{1}{2}, \; \frac{1}{4}, \; \frac{1}{8}, \dots \)

В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число \( \frac{1}{2} \)

Определение.
Числовая последовательность
b1, b2, b3, ..., bn, ...
называется геометрической прогрессией если для всех натуральных n выполняется равенство
bn+1 = bnq,
где \( b_n \neq 0 \), q — некоторое число, не равное нулю.

Из этой формулы следует, что \( \frac{ b_{n+1}}{b_n}=q \). Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

По определению геометрической прогрессии
\( b_{n+1} = b_n q, \quad b_{n-1}=\frac{b_n}{q}, \)
откуда
\( b_n^2 = b_{n-1}b_{n+1}, \quad n>1 \)

Если все члены геометрической прогрессии положительны, то \( b_n=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}} \), т.е. каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия.

Отметим, что если b1 и q заданы, то остальные члены геометрической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле bn+1 = bnq. Однако для больших n это трудоёмко. Обычно пользуются формулой n-го члена.

По определению геометрической прогрессии
b2 = b1q,
b3 = b2q = b1q2,
b4 = b3q = b1q3 и т.д.

Вообще,
\( b_n = b_1q^{n-1} \)
так как n-й член геометрической прогрессии получается из первого члена умножением (n-1) раз на число q.
Эту формулу называют формулой n-го члена геометрической прогрессии.

Также не сложно получить формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии зная m-ый член.
Запишем формулы n-го члена геометрической прогрессии и m-го члена:
\( b_n = b_1q^{n-1} \)
\( b_m = b_1q^{m-1} \Rightarrow b_1 = \frac{b_m}{q^{m-1}} \)
Подставляя b1 в первое равенство получим:
\( b_n = \frac{b_m}{q^{m-1}} \cdot q^{n-1} = b_m \cdot q^{n-1-(m-1)} = b_m \cdot q^{n-m} \)
Таким образом мы получили формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии зная m-ый член:
\( b_n = b_m \cdot q^{n-m} \)

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Найдем сумму
S = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35.
Умножим обе части равенства на 3:
3S = 3 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36.
Перепишем эти два равенства так:
S = 1 + (3 + 32 + 33 + 34 + 35),
3S = (3 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35) + 36.

Выражения, стоящие в скобках, одинаковы. Поэтому, вычитая из нижнего равенства верхнее, получаем:
3S - S = 36 - 1,    2S = 36 - 1,
\( S=\frac{3^6 - 1}{2} = \frac{729 - 1}{2} = 364 \)

Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию \( b_1, \; b_1q, \; \dots, \; b_1q^n, \; \dots \) знаменатель которой \( q \neq 1 \).
Пусть Sn - сумма n первых членов этой прогрессии:
\( S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + ... + b_1q^{n-1} \)
Тогда сумма n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем \( q \neq 1 \) равна
\( S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} \)

Можно получить ещё одну формулу для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии:
\( S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} = \frac{b_1q^n - b_1}{q-1} = \frac{b_1q^{n-1} \cdot q - b_1}{q-1} \)
Так как \( b_n=b_1q^{n-1} \), то можно подставить \( b_n \) в предыдущее выражение:
\( S_n = \frac{b_n q - b_1}{q-1} \)