Решение задач по математике онлайн



Калькулятор онлайн.
Решение показательных неравенств.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное неравенство. Программа для решения показательного неравенства не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию решения показательных неравенств и некоторые методы решения показательных неравенств.

Примеры подробного решения >>

Введите показательное неравенство
Решить неравенство


Если вы заметили ошибку в решении, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи.
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля.

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Показательные неравенства

Неравенства вида
\( a^x > b \) и \( a^x < b \),
где \( a>0, \; a \neq 0, \; b \in \mathbb{R} \)
называют простейшими показательными неравенствами.

Напомним, что решением неравенства называют число \(x_0\), при подстановке которого в неравенство получается верное числовое неравенство.

Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет.

Случай \( b \leq 0\)

Поскольку \( a^x >0 \) для любого \( x \in \mathbb{R} \), то при \( b \leq 0\) неравенство \( a^x > b \) верно для любого \( x \in \mathbb{R} \).
И нет ни одного \( x \in \mathbb{R} \) для которого было бы верно неравенство \( a^x \leq b \) при \( b \leq 0\).


Таким образом, если \( b \leq 0\), то множество всех решений неравенства \( a^x > b \) есть интервал \( (-\infty; \; +\infty) \), а неравенство \( a^x < b \) решений не имеет.

Случай \( b > 0\)

Если же \( b > 0\), то исходные неравенства можно переписать в виде
\( a^x > a^c \) и \( a^x < a^c \), где \( c = log_ab \)

Случай \( a > 1\)

Рассмотрим решение неравенств \( a^x > a^c \) и \( a^x < a^c \) сначала при \( a > 1\)
Так как для такого \(a\) функция \( y = a^x \) является возрастающей, то для любого числа \( x > c \) верно неравенство \( a^x > a^c \), а для любого числа \( x < c \) верно неравенство \( a^x < a^c \).
Кроме того, равенство \( a^x = a^c \) справедливо лишь при \( x = c \).

Таким образом, при \( b > 0\) и \( a > 1\) множество всех решений неравенства \( a^x > a^c \) есть интервал \( (c; \; +\infty) \), а множество всех решений неравенства \( a^x < a^c \) есть интервал \( (-\infty; \; c) \), где \( c = log_ab \).

Случай \( 0 < a < 1 \)

Так как для такого \(a\) функция \( y = a^x \) является убывающей, то для любого числа \( x > c \) верно неравенство \( a^x < a^c \), а для любого числа \( x < c \) верно неравенство \( a^x > a^c \).
Кроме того, равенство \( a^x = a^c \) справедливо лишь при \( x = c \).

Таким образом, при \( b > 0\) и \( 0 < a < 1\) множество всех решений неравенства \( a^x > a^c \) есть интервал \( (-\infty; \; c) \), а множество всех решений неравенства \( a^x < a^c \) есть интервал \( (c; \; +\infty) \), где \( c = log_ab \).

ПРИМЕР 1. Решим неравенство \(2x < 8\)
Так как 8 > 0, то неравенство можно переписать в виде \(2x < 2^3\)
Так как 2 > 1, то функция \(y = 2^x\) возрастающая. Поэтому решением неравенства, являются все x < 3
Ответ: \( (-\infty; \; 3) \)

ПРИМЕР 2. Решим неравенство \( \left( \frac{1}{3}\right)^x < 5\)
Так как 5 > 0, то это неравенство можно переписать в виде
$$ \left( \frac{1}{3}\right)^x < \left( \frac{1}{3}\right)^{log_{\frac{1}{3}}5} $$
Так как \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), то функция \( y = \left( \frac{1}{3}\right)^x \) убывающая. Поэтому решениями неравенства, являются все \( x > log_{\frac{1}{3}}5 \)
Ответ: \( (log_{\frac{1}{3}}5 ; \; +\infty) \)

ПРИМЕР 3. Решим неравенство \( 2^{x-2} + 2^{x+1} < 18 \)

\( 2^{x-2} + 2^{x+1} < 18 \Rightarrow \)
\( \left( 2^{-2} + 2^1 \right) \cdot 2^x < 18 \Rightarrow \)
\( \left( \frac{1}{4} + 2 \right) \cdot 2^x < 18 \Rightarrow \)
\( 2\frac{1}{4} \cdot 2^x < 18 \Rightarrow \)
\( 2^x < 8 \Rightarrow \)
\( 2^x < 2^3 \Rightarrow \)
\( x < 3 \Rightarrow \)
Ответ: \( (-\infty; \; 3) \)