Подробное решение
задач по математике
онлайн

Построение графиков функций
 
Ссылки   |   Книги   |   ЕГЭ и ГИА 2015
 
 
 
E-mail:    Пароль:   
Регистрация Получить VIP статус Забыли пароль?

Калькулятор онлайн.
Найти (с решением) производную функции.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения производной функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о производной функции и правила дифференцирования и таблицу производных, т.е. список формул для нахождения производных от некоторых элементарных функций.

Если вам нужно найти уравнение касательной к графику функции, то для этого у нас есть задача Уравнение касательной к графику функции.

Примеры подробного решения >>

Введите выражение функции (правила ввода функций)
f(x) =
Найти производную функции f(x)

Последние сохранённые решения этой задачи

Эти решения созданы и сохранены пользователями на нашем сервере
с помощью этого онлайн-калькулятора.

Решение сохранено 21.11.2014 14:54:23

Решение сохранено 21.11.2014 09:57:31

Решение сохранено 20.11.2014 23:37:25

Решение сохранено 19.11.2014 21:29:03

Решение сохранено 19.11.2014 12:44:10

Немного теории.

Определение производной

Определение. Пусть функция \( y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \( x_0\). Дадим аргументу приращение \( \Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \( \Delta y\) (при переходе от точки \( x_0\) к точке \( x_0 + \Delta x \) ) и составим отношение \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \( \Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \( y=f(x) \) в точке \( x_0\) и обозначают \( f'(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y'. Отметим, что y' = f(x) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x).

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
$$ k = f'(a) $$

Поскольку \( k = tg(a) \), то верно равенство \( f'(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \( y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \( x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x) $$

Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f'(x) \), т. е. \( \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \). Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. Например, для функции \( y = x^2 \) справедливо приближенное равенство \( \Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \( x \), найти \( f(x) \)
2. Дать аргументу \( x \) приращение \( \Delta x \), перейти в новую точку \( x+ \Delta x\), найти \( f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \( \Delta y = f(x + \Delta х) - f(x) \)
4. Составить отношение \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить \( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \)
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f'(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \( \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \( \Delta x \) устремить к нулю, то и \( \Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \( y=\sqrt[3]{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f'(0)\)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция недифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

$$ C'=0 $$
$$ x'=1 $$
$$ ( f+g)'=f'+g' $$
$$ (fg)'=f'g + fg' $$
$$ (Cf)'=Cf' $$
$$ \left(\frac{f}{g} \right) ' = \frac{f'g-fg'}{g^2} $$
$$ \left(\frac{C}{g} \right) ' = -\frac{Cg'}{g^2} $$
Производная сложной функции:
$$ f'_x(g(x)) = f'_g \cdot g'_x $$

Таблица производных некоторых функций

$$ \left( \frac{1}{x} \right) ' = -\frac{1}{x^2} $$
$$ ( \sqrt{x} ) ' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$
$$ \left( x^a \right) ' = a x^{a-1} $$
$$ \left( a^x \right) ' = a^x \cdot \ln a $$
$$ \left( e^x \right) ' = e^x $$
$$ ( \ln x )' = \frac{1}{x} $$
$$ ( \log_a x )' = \frac{1}{x\ln a} $$
$$ ( \sin x )' = \cos x $$
$$ ( \cos x )' = -\sin x $$
$$ ( tg x )' = \frac{1}{\cos^2 x} $$
$$ ( ctg x )' = -\frac{1}{\sin^2 x} $$
$$ ( \arcsin x )' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
$$ ( \arccos x )' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $$
$$ ( arctg x )' = \frac{1}{1+x^2} $$
$$ ( arcctg x )' = \frac{-1}{1+x^2} $$

 

 
 
       
Идея и создание сайта: Корочанский Г. Е.
Дизайн сайта slav911
Ссылки    |    Книги    |    ЕГЭ и ГИА 2015

© MathSolution.ru 2014

Конструктор дорожных ситуаций
Интернет-магазин авторских модульных картин
Категории картин:
Пейзаж, Город, Абстракции, Животные, Стиль, Цветы, Напитки, Макро, Музыка, Космос, Вода
Прогноз погоды на сегодня, завтра, 3 дня, 10 дней, 14 дней, неделю
Последние новости
Гороскопы