Решение задач по математике онлайн


Калькулятор онлайн.
Калькулятор для решения комплексных чисел.
Сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел.
Вычислить n-ую степень и корень n-ой степени.

С помощью данного калькулятора вы можете сложить, вычесть, умножить, и разделить комплексные числа.
Программа решения комплексных чисел не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс нахождения решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Правила ввода действительной и мнимой части
Комплексное число состоит из двух частей - действительной и мнимой.
Первое поле ввода - для действительной части, второе - для мнимой.
Для правильного ввода комплексного числа нужно ввести как минимум одну часть - действительную или мнимую.

Числа в действительную или мнимую части можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так + i

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: + i
Результат: \( -\frac{2}{3} - \frac{7}{5} \cdot i \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: + i
Результат: \( -1\frac{2}{3} + 5\frac{8}{3} \cdot i \)

Примеры подробного решения >>

Введите действительную и мнимую части чисел \( z_1 \) и \( z_2 \).
У каждого числа нужно ввести как минимум одну часть - действительную или мнимую.

z1 = + i
z2 = + i
z = + i
n = \( \; n \in \mathbb{N}, \; n \geq 2 \)
Вычислить сумму, разность, произведение и частное


Немного теории.

Понятие комплексного числа

Определение.
Комплексными числами называют выражения вида а + bi где а и b — действительные числа, а i — некоторый символ, для которого по определению выполняется равенство i2 = -1.

Название «комплексные» происходит от слова «составные» — по виду выражения а + bi. Число а называется действительной частью комплексного числа а + bi, а число b — его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей. Например, действительная часть комплексного числа 2-3i равна 2, мнимая часть равна -3. Запись комплексного числа в виде а + bi называют алгебраической формой комплексного числа.

Равенство комплексных чисел

Определение.
Два комплексных числа а + bi и c + di называются равными тогда и только тогда, когда а = с и b = d, т. е. когда равны их действительные и мнимые части.

Сложение и умножение комплексных чисел

Операции сложения и умножения двух комплексных чисел определяются следующим образом.

Определения.
Суммой двух комплексных чисел а + bi и c + di называется комплексное число (a + c) + (b + d)i, т.е.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Произведением двух комплексных чисел а + bi и c + di называется комплексное число (ac - bd) + (ad + bc)i, т. е.
(а + bi)(с + di) = (ас-bd) + (ad + bc)i.

Из двух предыдущих формул следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами. Поэтому нет необходимости запоминать эти формулы, их можно получить по обычным правилам алгебры, считая, что i2 = -1.

Основные свойства сложения и умножения комплексных чисел

1. Переместительное свойство

2. Сочетательное свойство

3. Распределительное свойство

Комплексно сопряженные числа

Определение.
Сопряженным с числом z = a + bi называется комплексное число а -bi, которое обозначается , т. е.

Например,

Отметим, что , поэтому для любого комплексного числа z имеет место равенство

Равенство справедливо тогда и только тогда, когда z — действительное число.

Модуль комплексного числа

Определение.
Модулем комплексного числа z = а + bi называется число , т.е.

Из данной формулы следует, что для любого комплексного числа z, причем |z|=0 тогда и только тогда, когда z=0, т.е. когда a=0 и b=0.

Вычитание комплексных чисел

Определение.
Комплексное число (–1)z называется противоположным комплексному числу z и обозначается –z.
Если z = a+bi, то –z = –a–bi. Например, –(3–5i) = –3+5i. Для любого комплексного числа z выполняется равенство
z+(–z) = 0.

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел z1 и z2 существует, и притом только одно, число z, такое, что
z + z2 = z1,
т.е. это уравнение имеет только один корень.

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел и существует, и притом только одно, число , такое, что т.е. это уравнение относительно z имеет только один корень, который называется частным чисел и и обозначается , или , т.е.

Комплексное число нельзя делить на нуль.

Частное комплексных чисел и можно найти по формуле

Каждое комплексное число z, не равное нулю, имеет обратное ему число w, такое, что z*w = 1, где

Если z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, то формулу частного комплексных чисел можно представить в виде

Геометрическая интерпретация комплексного числа. Комплексная плоскость

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число а + bi можно рассматривать как пару действительных чисел (а; b). Поэтому естественно комплексные числа изображать точками плоскости.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число z = a + bi изображается точкой плоскости с координатами (а; b), и эта точка обозначается той же буквой z.

Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу а + bi соответствует одна точка плоскости с координатами (а; b) и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами (а; b) соответствует одно комплексное число a + bi. Поэтому слова «комплексное число» и «точка плоскости» часто употребляются как синонимы. Так, вместо слов «точка, изображающая число 1 + i» говорят «точка 1 + i». Можно, например, сказать «треугольник с вершинами в точках i, 1+i, -i».

При такой интерпретации действительные числа a, т.е. комплексные числа а+0i, изображаются точками с координатами (а; 0), т.е. точками оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью. Чисто мнимые числа bi = 0+bi изображаются точками с координатами (0; b), т.е. точками оси ординат, поэтому ось ординат называют мнимой осью. При этом точка с координатами (0; b) обозначается bi. Например, точка (0; 1) обозначается i, точка (0; -1) — это -i , точка (0; 2) — это точка 2i. Начало координат — это точка O. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Отметим, что точки z и -z симметричны относительно точки 0 (начала координат), а точки и симметричны относительно действительной оси.

Комплексное число z = a+bi можно изображать вектором с началом в точке 0 и концом в точке z. Этот вектор будем обозначать той же буквой z, длина этого вектора равна |z|.

Число z1 + z2 изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов z1 и z2 а вектор z1-z2 можно построить как сумму векторов z1 и -z2.

Геометрический смысл модуля комплексного числа

Выясним геометрический смысл модуля комплексного числа |z|. Пусть z = а+bi. Тогда по определению модуля . Это означает, что |z| — расстояние от точки 0 до точки z.

Например, равенство |z| = 4 означает, что расстояние от точки 0 до точки z равно 4. Поэтому множество всех точек z, удовлетворяющих равенству |z| = 4, является окружностью с центром в точке 0 радиуса 4. Уравнение |z| = R является уравнением окружности с центром в точке 0 радиуса R, где R — заданное положительное число.

Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел

Выясним геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел, т.е. |z1—z2|.
Пусть z1 = a1+b1i, z2 = a2+b2i.
Тогда

Из курса геометрии известно, что это число равно расстоянию между точками с координатами (а1; b1) и (a2; b2).

Итак, |z1-z2| — расстояние между точками z1 и z2.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Аргумент комплексного числа

Определение
Аргумент комплексного числа — это угол между положительным направлением действительной оси и вектором Oz. Этот угол считается положительным, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательным при отсчете по часовой стрелке.

Связь между действительной и мнимой частями комплексного числа z = а + bi, его модулем r=|z| и аргументом выражается следующими формулами:

Аргумент комплексного числа z = a+bi ( ) можно найти, решив систему (2). Эта система имеет бесконечно много решений вида , где — одно из решений системы (1), т.е. аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.

Для нахождения аргумента комплексного числа z = а+bi ( ) можно воспользоваться формулой

При решении уравнения (3) нужно учитывать, в какой четверти находится точка z = а+bi.

Запись комплексного числа в тригонометрической форме

Из равенства (1) следует, что любое комплексное число z = a+bi, где , представляется в виде

где - модуль комплексного числа z, - его аргумент. Запись комплексного числа в виде (4), где r>0, называют тригонометрической формой комплексного числа z.

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме

С помощью тригонометрической формы записи комплексных чисел удобно находить произведение и частное комплексных чисел z1 и z2. Если два комплексных числа записаны в тригонометрической форме:
то произведение этих комплексных чисел можно найти по формуле:

Из этой формулы следует, что при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Формула для нахождения частного комплексных чисел:

Из этой формулы следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного.

Формула Муавра

Для любого справедлива формула
которую называют формулой Муавра.