Решение задач по математике онлайн



Калькулятор онлайн.
Сумма арифметической прогрессии.
Дано: an, am, n, m, k
Найти: Sk

Эта математическая программа находит \(S_k\) - сумму k первых членов арифметической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел \( a_n, a_m, n, m \) и \( k \).
Числа \( a_n \) и \( a_m \) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной дроби ( \( 2,5 \) ) и в виде обыкновенной дроби ( \( -5\frac{2}{7} \) ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел
Числа \( a_n \) и \( a_m \) можно задать не только целые, но и дробные.
Числа \( n, m \) и \( k \) могут быть только целыми положительными.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод:
Результат: \( -\frac{2}{3} \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод:
Результат: \( -1\frac{2}{3} \)

Введите числа an, am, n, m, k




Найти сумму Sk


Если вы заметили ошибку в решении, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи.
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля.


Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Числовая последовательность

В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках.

В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит. Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a1, a2, a3, ..., aN
где N — число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число an.

В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a1, a2, a3, ..., an, ... .
Число a1 называют первым членом последовательности, число a2вторым членом последовательности, число a3третьим членом последовательности и т. д.
Число an называют n-м (энным) членом последовательности, а натуральное число n — его номером.

Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, (n + 1)2, ... а1 = 1 - первый член последовательности; аn = n2 является n-м членом последовательности; an+1= (n + 1)2 является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности. Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена. Например, формулой \( a_n=\frac{1}{n}, \; n \in \mathbb{N} \) задана последовательность \( 1, \; \frac{1}{2} , \; \frac{1}{3} , \; \frac{1}{4} , \dots,\frac{1}{n} , \dots \)

Арифметическая прогрессия

Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно \( 365\frac{1}{4} \) суток, поэтому каждые четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам.

Для учёта этой погрешности к каждому четвёртому году добавляются сутки, и удлинённый год называют високосным.

Например, в третьем тысячелетии високосными годами являются годы 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 4. Такие последовательности называют арифметическими прогрессиями.

Определение.
Числовая последовательность a1, a2, a3, ..., an, ... называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство
\( a_{n+1} = a_n+d, \)
где d — некоторое число.

Из этой формулы следует, что an+1 - an = d. Число d называют разностью арифметической прогрессии.

По определению арифметической прогрессии имеем:
\( a_{n+1}=a_n+d, \quad a_{n-1}=a_n-d, \)
откуда
\( a_n= \frac{a_{n-1} +a_{n+1}}{2} \), где \( n>1 \)

Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.

Отметим, что если a1 и d заданы, то остальные члены арифметической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле an+1 = an + d. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых членов прогрессии, однако, например, для a100 уже потребуется много вычислений. Обычно для этого используется формула n-го члена. По определению арифметической прогрессии
\( a_2=a_1+d, \)
\( a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\( a_4=a_3+d=a_1+3d \)
и т.д.
Вообще,
\( a_n=a_1+(n-1)d, \)
так как n-й член арифметической прогрессии получается из первого члена прибавлением (n-1) раз числа d.
Эту формулу называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Запишем эту сумму двумя способами:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Сложим почленно эти равенства:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
В этой сумме 100 слагаемых
Следовательно, 2S = 101 * 100, откуда S = 101 * 50 = 5050.

Рассмотрим теперь произвольную арифметическую прогрессию
a1, a2, a3, ..., an, ...
Пусть Sn — сумма n первых членов этой прогрессии:
Sn = a1, a2, a3, ..., an
Тогда сумма n первых членов арифметической прогрессии равна
\( S_n = n \cdot \frac{a_1+a_n}{2} \)

Так как \( a_n=a_1+(n-1)d \), то заменив в этой формуле an получим еще одну формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии:
\( S_n = n \cdot \frac{2a_1+(n-1)d}{2} \)