Решение задач по математике онлайн

ЕГЭ 2019 тесты по математике онлайн.
Вариант 3.
Подробное решение задания C6.



Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел an. В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100. Найдите наименьшее возможное значение a3.
Решение
Очевидно, \(a_3 \geq 3,\;\;\) причем \(a_3=3,\;\;\) только если \(a_1=1,\;\;\) и \(a_2=2,\;\;\) то есть если десятичная дробь начинается: \( 0,123... \;\; \) (четвертая цифра не ноль).
Заметим, что таким образом начинается, например, число
$$ m= 10^{-1}+2\cdot 10^{-2}+ 3\cdot 10^{-3}+ ... + n\cdot 10^{-n}+ ...$$
Найдем число \( m \) и проверим, удовлетворяет ли оно условиям задачи. Для этого запишем сумму подробнее.
$$\left.\begin{array}{l} m = 10^{-1}+ 10^{-2}+ 10^{-3}+ ... + 10^{-n}+ ...+ \\\\ 10^{-2}+ 10^{-3}+ ... + 10^{-n}+ ...+ \\\\ 10^{-3}+ ... + 10^{-n}+ ...+ \\\\ + ... \end{array}\right.$$
В каждой строке — сумма геометрической прогрессии со знаменателем \( 10^{-1}. \;\;\) Получаем:
$$ m= 10^{-1} \left( \frac{1}{1-10^{-1}}\right) + ... +10^{-n} \left( \frac{1}{1-10^{-1}}\right) + ... = $$
$$ \frac{10}{9}\cdot ( 10^{-1}+10^{-2}+ ... +10^{-n}+... )= \frac{10}{9}\cdot \frac{1}{9} = \frac{10}{81}. $$
Получается, что \( m \) — рациональное число, и оно представляется дробью со знаменателем 81, что меньше ста. Число \( m \) удовлетворяет условию задачи и для этого числа \( a_3=3. \)
Ответ: 3

Критерии оценивания выполнения задания С5Баллы
В представленном решении обоснованно получен верный ответ4
При верном ходе рассуждений решение содержит вычислительную ошибку, возможно, приведшую к неверному ответу3
Найдено нужное число, доказано, что оно рационально, однако не показано, что знаменатель меньше ста2
Верными рассуждениями найдено какое-либо число, удовлетворяющее условию задачи, содержащее в указанной позиции не наименьшую цифру1
Отсутствует доказательство рациональности нужного числа или в ответе записана цифра иррационального числа0