ЕГЭ 2019 тесты по математике онлайн.
Вариант 3.
Подробное решение задания C4.
Дан ромб ABCD с диагоналями АС = 24 и BD = 10. Проведена окружность радиуса \( \Large\frac{5\sqrt{2}}{2}\normalsize \) с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину В, касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке М. Найдите СМ. Решение
Пусть точка М лежит между С и D (рис. 1), Р — точка касания прямой ВМ с данной окружностью, O — центр ромба.
По теореме Пифагора: $$ CD = \sqrt{OD^2+OC^2} = \sqrt{12^2+5^2}=13 $$ Обозначим \( \angle OBM = \alpha, \angle BDC = \beta. \;\;\;\; \) Из прямоугольных треугольников ОРВ и COD находим, что $$ sin\alpha = \frac{OP}{OB} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha = 45^\circ $$ $$ cos\beta = \frac{OD}{CD} = \frac{5}{13}, \;\; sin \beta = \frac{12}{13} $$ Применяя теорему синусов к треугольнику BMD получим, что \( \Large\frac{DM}{sin\angle MBD}\normalsize = \Large \frac{BD}{sin\angle BMD}\normalsize, \;\;\; \) поэтому $$ MD = \frac{BD sin \angle MBD}{sin \angle BMD} = \frac{10 sin 45^\circ}{sin(180^\circ-45^\circ-\beta)} = \frac{5 \sqrt{2}}{sin(45^\circ+\beta)} = $$ $$ = \frac{5\sqrt{2}}{sin45^\circ cos \beta + cos45^\circ sin \beta} = \frac{5\sqrt{2}}{ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{13} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{12}{13} } = \frac{130}{17} $$ $$ CM = CD - MD = 13-\frac{130}{17} = \frac{91}{17}. $$
Рис. 1 |
Рис. 2 |
| Критерии оценивания выполнения задания С4 | Баллы |
| В представленном решении верно найдены обе возможных длины отрезка | 3 |
| Рассмотрены оба случая, но верное решение имеется только для одного случая | 2 |
| Рассмотрен только один случай и для этого случая верно найдена длина | 1 |
| Длины найдены неверно или не найдены | 0 |
