Решение задач по математике онлайн

ЕГЭ 2019 тесты по математике онлайн.
Вариант 2.
Подробное решение задания C6.



Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более \( \Large \frac{3}{10}\normalsize \; \) от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более \( \Large \frac{5}{12}\normalsize \; \) от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 8 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся ?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся ?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б ?
Решение
а) Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 5 мальчиков, посетивших только кино, и 8 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 16 учащихся могло быть 8 мальчиков.
б) Предположим, что мальчиков было 9 или больше. Тогда девочек было 7 или меньше. Театр посетило не более 3 мальчиков, поскольку если бы их было 4 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше \( \frac{4}{4+7} = \frac{4}{11}, \) больше, \( \frac{3}{10}. \) Аналогично кино посетило не более 5 мальчиков, поскольку \( \frac{6}{6+7} = \frac{6}{13} > \frac{5}{12}, \) но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.
В предыдущем пункте было показано, что в группе из 16 учащихся могло быть 8 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 8.
в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.
Пусть в группе \( m_1 \) мальчиков, посетивших театр, \( m_2 \) мальчиков, посетивших кино, и \( d \) девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.
\( \Large\frac{m_1}{m_1+d}\normalsize \leq \Large \frac{3}{10}\normalsize, \;\; \Large\frac{m_2}{m_2+d}\normalsize \leq \Large \frac{5}{12}\normalsize, \;\;\; \) значит, \( \Large\frac{m_1}{d}\normalsize \leq \Large \frac{3}{7}\normalsize, \;\; \Large\frac{m_2}{d}\normalsize \leq \Large \frac{5}{7}\normalsize. \)
Тогда \( \Large\frac{m_1+m_2}{d}\normalsize \leq \Large \frac{8}{7}\normalsize, \;\; \) поэтому доля девочек в группе: $$ \frac{d}{m_1+m_2+d} = \frac{1}{\frac{m_1+m_2}{d}+1} \geq \frac{1}{\frac{8}{7}+1} = \frac{7}{15}. $$
Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 5 мальчиков, посетивших только кино, и 7 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна \( \frac{7}{15}. \)
Ответ: а) да;
б) 8;
в) \( \Large \frac{7}{15}\normalsize \)

Критерии оценивания выполнения задания С6Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:
— обоснованное решение п. а;
— обоснованное решение п. б;
— искомая оценка в п. в;
— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0