ЕГЭ 2019 тесты по математике онлайн.
Вариант 2.
Подробное решение задания C3.
Решите систему неравенств
$$\left\{\begin{array}{l} \frac{567-9^{-x}}{81-3^{-x}} \geq 7 \\\\ log_{0,25x^2} \left( \frac{x+12}{4} \right) \leq 1 \end{array}\right.$$ Решение
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену \( y=3^{-x}. \) $$ \frac{567-y^2}{81-y} \geq 7 \Rightarrow \frac{y^2-7y}{y-81} \geq 0 \Rightarrow \frac{y(y-7)}{y-81} \geq 0 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} 0 \leq y \leq 7 \\\\ y > 81 \end{array}\right. $$ Делаем обратную замену и находим решение первого неравенства системы: $$ \left[\begin{array}{l} 0 \leq 3^{-x} \leq 7 \\\\ 3^{-x} > 81 \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x < -4 \\\\ x \geq -log_37 \end{array}\right. $$ 2. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.
Первый случай: \( 0,25x^2 > 1. \) $$ log_{0,25x^2} \left( \frac{x+12}{4} \right) \leq 1 \Rightarrow 0 < \frac{x+12}{4} \leq 0,25x^2 \Rightarrow $$ $$ \left\{\begin{array}{l} x^2-x-12 \geq 0 \\\\ x+12 > 0 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} (x+3)(x-4) \geq 0 \\\\ x > -12 \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} -12< x \leq -3 \\\\ x \geq 4 \end{array}\right. $$ Второй случай: \( 0 < 0,25x^2 < 1. \) $$ log_{0,25x^2} \left( \frac{x+12}{4} \right) \leq 1 \Rightarrow \frac{x+12}{4} \geq 0,25x^2 \Rightarrow (x+3)(x-4) \leq 0 \Rightarrow $$ $$ -3 \leq x \leq 4 $$ Учитывая условие \( 0 < 0,25x^2 < 1 \;\;\; \), получаем: $$ \left[\begin{array}{l} -2 < x < 0 \\\\ 0 < x < 2 \end{array}\right. $$ Решение второго неравенства исходной системы: $$ -12 < x \leq -3; \;\; -2 < x < 0; \;\; 0 < x < 2; \;\; x \geq 4 $$ 3. Поскольку \( -2 < -log_37 < -1, \;\;\; \) получаем решение исходной системы неравенств: $$ -12 < x < -4; \;\; -log_37 \leq x < 0; \;\; 0 < x < 2; \;\; x \geq 4 $$ Ответ: \( (-12; \; 4); \;\; [-log_37; \; 0); \;\; (0; \; 2); \;\; [4; \; +\infty) \)
| Критерии оценивания выполнения задания С3 | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы неравенств | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
