ЕГЭ 2019 тесты по математике онлайн.
Вариант 2.
Подробное решение задания C2.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 1:2. Найдите угол между плоскостями ABC и ВED1. Решение
Прямая D1Е пересекает прямую AD в точке К. Плоскости ABC и ВЕD1 пересекаются по прямой KB.
Из точки Е опустим перпендикуляр ЕН на прямую KB, тогда отрезок АН (проекция ЕН) перпендикулярен прямой KB. Угол АНЕ является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и ВЕD1.
Поскольку АЕ : ЕA1 = 1:2, получаем: $$ AE = \frac{AA_1}{3} =1 \Rightarrow EA_1 = AA_1-AE = 2 $$ Из подобия треугольников A1D1E и AKE находим: $$ AK = \frac{AE}{EA_1} \cdot A_1D_1 = 1 $$ В прямоугольном треугольнике АКВ с прямым углом А: $$ AB = 2; \;\; AK = 1; $$ $$ BK = \sqrt{AB^2 + AK^2} = \sqrt{5}; \;\; AH = \frac{AK \cdot AB }{BK} = \frac{2}{\sqrt{5}} $$ Из прямоугольного треугольника АНЕ с прямым углом А получаем: $$ tg \angle AHE = \frac{AE}{AH} = \frac{\sqrt{5}}{2} $$
| Критерии оценивания выполнения задания С2 | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ, или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
